SÉANCE DU I*"" AVRIL 1902. ■741 



les valeurs de t, et aux points /= ^^, où a est un entier > 2 etx. prend les 

 valeurs rb i, ±1, ±3 /? les valeurs i, 2, 3, .. ., nous avons 



» Nous définissons l'intégrale en question iù{u,v) par les conditions 

 qu'elle doit se réduire pour m = o à (]/((') et pour ^' = o à zéro. La méthode 

 de M. Picard fait voir qu'elle existe et qu'elle est continue ainsi que toutes 

 les dérivées en tous les points du plan (' ). 



» Pour montrer qu'elle n'est pas analytique, il suffit évidemment d'éta- 

 blir que, pour les valeurs de v delà forme '^j^f^ — ~^> ±2, •••\ ^/, a 



w \/> = i, 2, 3, ...y ^ "' '' 



peut pas être développée en une série procédant suivant les puissances 

 entières de 



2X7T 



V , 



al' 



quelle que soit la valeur fixe «„. 



» L'impossibilité de ce développement se démontre en faisant usage de 

 la formule 



et de celles que l'on obtient en différentiaut par rapport à c. 



» Considérons les valeurs de w, ~, ~, ■ ■ ■ pour v='^^- Lesdites for- 

 et' 01'" ' al' 



mules nous donnent, en nous servant du lemme, les inégalités suivantes 



valables pour toutes les valeurs de m appartenant à l'intervalle (o, ...,«„) 



(si k est une constante convenablement choisie) 



< 6"" + (,z - i) ! I u, ! (..„_, = ,x„ < ké'" (« = 1 , 2, 3, . . . ; ;..„ = F ). 



àv"- 

 Nous trouvons de suite 



^j;2« + l —^ I p / -t- 11„ 



(') Cf. par exemple Bianchi, Vorlesungen iiber Diffeienlialgeometrie, p. 447. 

 C. K., 1902, I" Semestre. (T. CXXXIV, N» 13.) 98 



