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» Nous voyons immédiatement que le développement en question 

 de co (/<(,, v) n'est pas possible parce que la série de Taylor à considérer a 

 son ravon de convergence nul. 



» 2. M. Hilbert a démontré le théorème suivant, intéressant parce qu'il 

 prouve que le plan entier de Lobatschewsky ne peut pas se réaliser à la 

 manière de Beltrami ('). 



» Il n'existe pas une surface analytique à courbure constante négative 

 qui soit régulière en tous ses points. 



» J'indiquerai ici une démonstration simple de ce théorème (^). 



» Il est facile de voir que, si une telle surface existait, l'angle o entre 

 les lignes asymptotiques devrait être une intégrale de l'équation (i) régu- 

 lière pour toutes les valeurs de m et t^ (m et (' étant les coordonnées asymp- 

 totiques définies comme dans le Travail de M. Hilbert), qui reste comprise 

 entre o et Tvet ne peut, en aucun point, atteindre une de ces limites (car, 

 en de tels points, les deux directions asymptotiques se confondraient) ('). 



» Une telle intégrale de (i) n'existe pas. 



» En effet, si elle existait, elle devrait vérifier la formule 



(2) (j(m, >') = to(o, r) 4- o»(«, o)— oj(o, o) 4- / / siu cof/?/t/ç', 



où l'on peut supposer que cd(w, o) estune fonction croissante de u dans l'in- 

 tervalle o^u^a, a étant choisi convenablement |jetit (en changeant l'ori- 

 gine et la direction des axes, on peut toujours salislaire à cette con- 

 dition). 



)i Ceci posé, soit b une quantité entre o et a. Nous supposons que le 

 point u, V reste dans le domaine compris entre u^ o et u^= b dans la 

 moitié supérieure du plan. On voit immédiatement qu'il doit y avoir des 



points pour lesquels 'w = tc j où i = a)(a, o) — (i)(6, o). Car si nous y 



(') Transactions of llie American maihenialical Society, t. II, 1901, p. 87-97. 

 (^) Il n'est pas nécessaire de supposer que la surface soit analytique, seulement 

 qu'elle admet des dérivées de certains ordres. 

 (^) Cf. liiLUERT, loc. cit., p. 87-90. 



