SÉANCE DU 7 AVRIL 1902/ 'j63 



» En différentiant on obtient 



- = cosa; — cos2a; -f- cos3a- 

 2 



» résultat tout faux, car cette série est divergente. » 



« Mais, en général, la série trigonomctrique que l'on obtient en diffé- 

 rentiant membre à membre la série de Fourier d'une fonction /(^) est, 

 comme on sait ('), divergente, lorsque lim/(£)^lim/(277 — s) (un cas 



qui se présente très souvent dans les applications) et ne représente donc 

 pas la dérivée /'(a?). 



» Dans les lignes suivantes, nous voulons montrer que si l'on différentie 

 membre à membre la série de Fourier (-) 



00 



(i) «0+ ^ (a„ co^nx -+- h^sinnx), 



n = 1 



I r"" 



»o=~J^ f{^v)dx, ^ " [ (/? = l,2....,ao), 



h„r^- I /(x)sinnxdx 



correspondant à une fonction y^( a?), ayant une dérivée continue /'(x), la 

 série obtenue 



(2) 2_j (fif'n cosTza? — na„ ?,\nnx) 



est toujours simplement indéterminée (en faisant exception seulement pour 

 les extrémités o, 2-) et a pour somme f{x)- 



M Nous employons l'expression simplement indéterminée avec M. Cesàro 

 dans le sens suivant : 



» La série "S «« est simplement indéterminée et a pour somme U, 



(') Voir Kronecker-Netto, Vorlesungen tiher bestimmte Intégrale, p. 98, 9g. 

 (^) Nous prenons pour l'intervalle Je développenienl l'inlervalle o, i-. Dans 



I 

 l'exemple d'Abel c'est l'intervalle — ir, 



