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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le théorème fondamental fie la théorie 

 des fonctions abéliennes. Note de M. Paul Paixlevé. 



I \a\ tliéorie des fonctions abéliennes repose sur ce théorème : Toute 

 fonction méromorphe i n fois périodique de n i^ariables est représentahle par le 

 quotient de deux fonctions ^ à n arguments (où les arguments ont subi une 

 transformation linéaire convenable). 



» Ce théorème, énoncé par Riemann, a été enseigné par Weierslrass, 

 qui n'a pas publié sa démonstration. Les belles démonstrations qui sont 

 dues à MM. Picard et Poincaré (') sont difficiles, soit en elles-mêmes, soit 

 par les connaissances qu'elles supposent. Une méthode synthétique, déve- 

 loppée par M. Appell (-) dans le cas de deux variables, admirable d'élégance 

 et de profondeur, s'appuie toutefois sur un théorème difficile concernant 

 les fonctions méromorphes de deux variables et exige la démonstration 

 (assez longue et délicate) d'un lemme relatif à une remarquable équation 

 fonctionnelle introduite par M. Guichard. 



)i La démonstration, à la fois directe et élémentaire, que je vais indiquer 

 ici ne repose que sur les principes classiques de la théorie des fonctions 

 uniformes d'une variable. 3'établis d'abord trois lemmes. 



» IjEmmeL — Soient rx une quantité dont ta partie réelle n est pas nulle et o(u) 

 une fonction entière qui admet la période i i-. Il existe une fonction analogue 

 i|;(w) qui ver fie la condition 



•liu + a) — 'X")^=?("^- 

 » En effet, on peut représenter 91^") par une série 



2 ■'^«'^""' 



n — — 00 



et il suffit de prendre, pour J'(m), la fonction 





(') Comptes rendus, 3 septembre i883, 21 et 28 juin 1897; Acla mathematica. 

 1897. 



(^) Journal de Jordan, 1891, p. 157-219. 



