SÉANCE DU l4 AVKIL 1902. So<) 



» Lemme II. — Soient a,, a.,, . . .. a„, . . . des (juantilès qui crvissent indcft- 

 niinenl avec n cl qui admellent {^) lu période -li-. On peut former une fonc- 

 lion entière 'f(u) qui admet la période lir. et dont les zéros sont a,, r/., , . . ., 

 o„, .... 



» Lem>,ie ni. — Attachons à chaque quantité Oj un poly/iome en > 



soit Ry ( )• Si les R^ admettent (-), commeles Uj, la période 2 i-, on peut 



former une fonction méromorphe "-^{ii), admettant la période 21-, et dont les 

 DÔles et les développements polaires coïncident respectivement avec les Oj et 

 les Ry. 



» Pour démontrer le lemiue II, on pose bj= e"j, et l'on distingue, dans 

 la suite b, les valeurs // telles que |6'|-=i, et les valeurs b" telles que 

 \b" \<^i. Soit alors x = e" ; un théorème classique de Weierstrass permet 

 (le former une fonction entière g(x) qui admet comme zéros les b' avec la 

 multiplicité voulue; soient de même y = e~" et h(y) une fonction entière 



de y qui admet comme zéros les valeurs yy, • Le produit g(e") X /«(e~") est 



une fonction entière ?('/) qui répond à la question. Le lemme lll se 

 démontre de la même manière, à l'aide du théorème classique de Mittag- 

 Leffler. 



» Ces lemmes établis, soit '^{u, v) une fonction méromorphe qui admet 

 quatre couples de périodes distincts, couples qu'il est loisible de ramener 

 à la forme (si-, o), (o, lir:), (a, (3), (a', [i'). Posons 



M = iT H- iy, V =^ z -h it; 



les quatre couples de périodes représentent dans l'espace (j;-,j', s, /) 

 quatre vecteurs non situés dans un même plan ; une au moins des quantités 

 a, 7.', soit a, a donc une partie réelle. 



» Considérons maintenant l'équation 'f{u, v) = o, équation qui ne 

 change pas quand on augmente u oa {> de 2.i~. Soient (pour une valeur 

 arbitrairement donnée de «) 



v = h,(u), v=^h.,(u), ..., v — h„(u), 



(') J'entends par là que ffy+ 2 i z et «y — 2 jt font partie de l'ensemble «,, a.,, ... 

 en même temps que Oj. Si p quantités a sont égales à a,-, p autres sont égales à 

 Oj + 2 ir. et p autres à Oj — 2 ('-. 



(-) J'entends par là que, si l'on pose U =: 1 le polynôme R(U) attaclié à (ij 



coïncide avec le polynôme analogue attaché à cij -\- 2t- ou à «y — lir.. 



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