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les racines de cette équation ( ' ). On déduit immédiatement de la quadruple 

 périodicité : i° que les fonctions ^„(m) restent Jïnies pour toute valeur finie 



de« et ne présentent que des s'\v]gn\arités algébriques ; -i." que la série V yri — r 



est absolument et uniformément convergente dans toute aire limitée du plan 

 des u qui ne renferme aucun zéro de la Jonction o(u, o). 



n Ceci admis, formons la fonction entière en v et de genre 2 : 



cette fonction est uniforme en u et admet la période lir., car elle ne change 

 pas quand on permute les quantités /<„ ; elle n'admet d'autres singularités 

 que les zéros ur=a^, u = a.,, ..., de cp(«, o). Soient h/, hp, ..., h^ les 

 déterminations de /«(?/) qui s'annulent pour u ^= a j, soit k la multiplicité 



du zéro u=^aj dans le produit hi, /(^,, ..., /;,., et soient R,( j' p^ ( 1 



les développements polaires, autour de u=aj, des deux sommes 



7 — 1-7 — 1-...-(-7— et-rT + Tv+..-l-7-:- Nous pouvons (lemmesll etlll) 



h. II,, h, hî h-, Ir,. ' ^ 



former une fonction entière H(j/) et deux fonctions méromorphes K(;/), 

 L(i<), admettant (^) la période ii-, telles que les zéros de H soient les 

 valeurs u = «y (avec la multiplicité correspondante k), et que les pôles et 

 développements polaires de R, L soient respectivement les points Oy et les 

 développements R,, py. La fonction 



-/fu,v) = 'l{u,v)\\Ui)e I- ' J 



est alors une fonction entière en u, v qui ne change pas quand on augmente u 

 de ii-. D'autre part, en groupant ensemble, dans l'égalité (i), les 

 valeurs /?„ congrucntes par rapport à 22-, on voit aussitôt que '!(«, c) peut 

 s'écrire 



^{u,v) --= n[(e"- e''Oe •■'+p-."'"-^-'„„„j^ 



égalité qui entraîne la suivante 



(') On peut toujours faire en sorte, en augmentant » d'une constante, quea = o 

 n'admette pas de racine u = «,, indépendante de r. 



(-) Les «y, les R; et les py admettent la période -lir. [voir la \ote( '), p. 809]. 



