SÉANCE DU l4 AVRIL 1902. ' 81 1 



la périodicité de /(a, t»), par rapport à u, exige que A(«) admette la pé- 

 riode 2i-, ainsi que B(m) — «m s^B, (r^), n désignant un certain entier. 

 D'ailleurs, A et B, sont nécessairement des fonctions entières, et si l'on 



multiplie / par e *'" '^ '"'^ , on obtient une fonction enïteVe cj(«, c) 



qui vérifie les conditions suivantes : 



(2) u(u -i- 2ivï,i>) = u!(i(,v), rj(//,t' -t- 2m) = rj(«,f )e"". 



)' Le quotient- est une fonction entière de (a, c), soit/., qui satisfait aux 

 mêmes égalités (2), et I on a cp == ^ 



" ^ ' ' -/.(II, V ) 



» Introduisons maintenant le troisième couple de périodes (a, p). La 



transformation m=— r-, ^' = V -1- — - [qui ne change pas le couple 



(o, 2«7r)], fait correspondre à (a, p) un nouveau couple (2477, o). Raison- 

 nons sur les variables U, V comme sur a, c, et formons la fonction n(U, V) 

 analogue à 7^(11, c). La définition de w (et de II) et la relation entre ç et V 

 montrent aussitôt qu'on a 



en augmentant c et Y de ai-, on trouve 



A = o, B(ii)——. 1 +- /!• (/?2, A- entiers), 



et enfin, en tenant compte de ce fait que u et c s'augmentent de « et [3 

 quand U s'accroît de 21-, 



c7(;/+a. (•-f-,3) = r7(//, r)e '="" '' ; 



la périodicité de u par rapport à u exige que la fonction entière F(w) soit 

 de la forme /«-t-F,(M), F, admettant la période 2i77, et / dési£;nant un 

 entier. Soit alors G(w) une fonction entière, de période lir,, qui vérifie 

 (lemme I) la relation G(;i-l-a) — G(m) = F,(m); il suffit de multiplier 

 ct(;/, e) par e*""" pour annuler F,, el l'on a, après cette dernière transfor- 

 mation, 



(3} nr(w4-a, (' + P) = nj(«,r_)e ^'"^ >. 



On trouverait, de même, 



(4) r7(M-+.a', r-Hfl') = c(w, e;e ^-'"^ ^ ' . 



