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/', m' désignant des entiers et la fonction entière F. (m) admettant la pé- 

 riode 2ii7. En augmentant u, c de a + a', 6 + [i', on aboutit à l'identité 



/,/ + p' (JIL + ,„^ _/'=,- |3 ("^ + m') 4- 2iK- = F, (« 4- a) - F, (//) ; 



la fonction entière Fj, qui admet la période ii- et s'augmente d'une con- 

 stante quand on change u en « + a, est nécessairement une constante, 

 soit c. On a donc 



(5) /7.'+ /«["i' - /■'/ - /;?'?+ ^_'\<'' - ?7-') + 2?Ii- = o, 



et ç est le quotient de deux fonctions entières cj, x, qui vérifient les éga- 

 lités (2), (3), (4) [F2(«) étant remplacé par c dans l'équation (4)]- 



» La démonstration (') s'achève dès lors en quelques lignes. Tout 

 d'abord, les entiers /, m, /', m', n, R ne sont pas tous nuls; sinon, la fonc- 

 tion entière to(m, c) serait quadruplement périodique et garderait, par 

 suite, un module inférieur à une quantité fixe. De phis, si « = o, le dé- 

 terminant M — mr = est différent de zéro; autrement (comme on le voit 

 aussitôt), ain-ès une transformation linéaire effectuée sur u, c, il existerait 

 deux couples de périodes distincts de la forme (w, o), (w,, o), et la fonc- 

 tion entière u{u, r) serait une fonction elliplique de u de seconde espèce, 

 ce qui est impossible. Cela posé, soit d'abord n = o, substituons aux 

 couples (a, fi), (a', [■:,') les couples dis/mets (A, li), (A', W) : 



k — rw-j!— m' X, i) = A' = m 'p' — ni [j = /' a, — /o.' — ^ / K -, 



on a 



rj(« + lÏT., c) = u{u, c) = ci(m, c -I- 2i-), 



r7(?/ + A, c + R) = e-'-"^'T,{u, c), cj(« + A', v + B') = u{u, r)^-^"-^'' 



(e, e'= const.), 



conditions qui caractérisent les fonctions f). 



Le cas de « :^ o se ramène au précédent, en posant d'abord 



a! = nv.' -^ 1 m' ir., [i', = /( fi' — 2 /' ir. ; 



(') Aoir Appia.L, /oc. c<7., p. 196-201. 



