SÉANCE DU 21 AVRIL 1902. 877 



l'expression hr^ — g^g\, où g,, A,, g\ désignent les parties imaginaires de 

 g, h, ^ , puisse être négatives. 



» Observons enfin que nous avons le droit de supposer premiers entre 

 eux les déterminants tels que AB, — BA,, . . ., DE, — ED,, formés avec les 

 coefficients des équations (i) : dans le cas contraire, il suffirait de remplacer 

 une de ces équations par une de ses combinaisons linéaires avec l'autre. 



n Pour simplifier l'écriture, nous admettrons que les coefficients B et B, 

 sont pairs; ce caractère se conserve dans toute transformation du premier 

 ordre. Les invariants ( 2 ) sont donc divisibles par 4 ; nous poserons 



A = ^ - AC - DE; A, = î^ - A,C, - DE,, 



4 -( 



8 = i BB, - AC, - CA, - DE, - ED., 



2 



itl' 



on aura 



A>o; A,>o; /,AA, -S->o. 



» Cela posé, si /et/, désignent les premiers membres des deux rela- 

 tions (i), l'invariant (2) de l'équation singulière ocf-^yf^, où a; et 7 sont 

 des entiers sans diviseur commun, est, après suppression tlu facteur 4, 



(4) ^x--^lxy + ^,y-, 



c'est-à-dire une forme quadratique binaire, positive, en ce et j. Cette forme 

 ne change pas si l'on opère sur/et/ une transformation du premier ordre, 

 puisque ses coefficients sont des invariants; elle se change en une forme 

 équivalente (proprement ou improprement) si l'on remplace les relations 

 /= o, / = o par un système arilhrnéliquemenl équivalent : 



X, [;,, 7/, [i! étant des entiers quelconques, tels que 1;;/ — a' [7. = ± 1 . 



M Ainsi, à tout système de relations (i) correspond une classe de formes 

 quadratiques binaires positives, proprement ou improprement équivalentes 

 entre elles. 



» II. Réciproquement, si deux systèmes (i) donnent naissance à deux 

 formes équivalentes, F et F', ces deux systèmes sont réductibles l'un à 

 l'autre par une transformation du premier ordre, lorsque les deux formes 

 considérées sont primitives. 



» Soit, en effet, ax- -h bxy -h cy- une forme équivalente aux deux 

 formes primitives données, F et F', et dans laquelle le coefficient a est pre- 



