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mier impair : une lelle forme existe, en vertu d'un théorème célèbre de 

 Dirichlet sur les formes primitives. La forme F a été déduite, selon la for- 

 mule (4), de deux relations singulières/^ o, /, = o, du tvpe (1) et, par 

 hypothèse, les deux formes 



aœ- -+- bxy -f- cy" et Aa;* + txy + A, r' 



sont équivalentes. La seconde peut donc représenter (proprement) le 

 nombre ,a, c'est-à-dire que, parmi les relations 'X/h- y-/, — o, l'une a pour 

 invariant l\a, les nombres À et i^. étant premiers entre eux. Cette rela- 

 tion pourra, par une transformation du premier ordre, se ramener à 

 A^ — gg' — a = o, de sorte que le système /= o, /, = o sera arithmétique- 

 ment équivalent au suivant : 



(5) h- — gg' —a — o, o.g+ i<^h-^';g' +L0 — 0, 



en faisant disparaître le terme en h- — gg' clans la dernière équation à 

 l'aide de la première. Toutes ces opérations ne changent pas la classe de 

 formes binaires liée aux équations singulières considérées. 



)) On peut maintenant efiéctuer une transformation du premier ordre 

 n'altérant pas la relation A^ — gg' — a — a, et changeant la seconde rela- 

 tion (5) en une équation analogue où a = i et p = o. Le système (5) de- 

 vient alors 



(6) Ii^ — gg' — a = o, g~ mg' - n = o, 

 et la forme binaire correspondante, à savoir 



ax"^ -\- nxy -l- my- , 



est toujours équivalente à rt2-^+ Z'jcv -H cy-. En particulier, leurs discri- 

 minants sont égaux, c'est-à-dire que 



b- — rr = ^a(c — m), 



ce qui montre que h ± n est divisible par a. Comme d'ailleurs h et n sont 

 nécessairement de même parité, on aura n — ±: b -h 2.af, d'où l'on dé- 

 duit m — c±bf-\-af. Or il est aisé de voir que la relation 



g — mg' — n^o, c'est-à-dire g—{c±b^->raf)g'z:^b — ia~f = o, 



peut se ramener au type g — cg — b — o, par une transformation du pre- 

 mier ordre n'altérant pas l'équation Ir — gg' — a = o. 



En d'autres termes, tous les systèmes de relations (i) qui donnent nais- 



