SÉANCE DU 21 AVRIL 1902. 879 



sance à une forme positive et primitive, d'une classe donnée, peuvent se 

 ramener, à l'aide de transformations du premier ordre, à un seul et même 



système. 



» III. Cela posé, passons des relations singulières entre les périodes 

 aux relations correspondantes entre les modules. Nous choisirons pour 

 modules des fonctions abéliennes dérivées d'un radical. 



V/>: 



/•/" 



les trois invariants indépendants de la forme du sixième ordre sous le 

 signe V : si les périodes g, A, g" sont liées par une relation singulière d'in- 

 variant 4A, les trois modules vérifient une équation algébrique qui défi- 

 nit la surface hypcrabélienne d'invariant 4 A. 



w Supposons que les périodes soient liées par deux relations singulières 

 données du tvpe (i) ; les modules sont fonctions d'un seul paramètre et le 

 point de l'espace qui a ces quantités pour coordonnées décrira une courbe 

 gauche algébrique. Cette courbe gauche, en vertu de ce qui précède, res- 

 tera la même si l'on remplace les équations (i) données par un système 

 analogue engendrant la même classe de formes quadratiques binaires (pro- 

 prement ou improprement équivalentes), pourvu que cette classe soit pri- 

 mitive. 



» En d'autres termes, à un invariant positif 4A correspond une surface, 

 et à une classe de formes positives et primitives correspond une courbe; 

 de plus, si un nombre N est représentable proprement par une forme de 

 la classe, la surface d'invariant 4N contient la courbe de la classe, et réci- 

 proquement : car les nombres 4N sont les invariants des relations singu- 

 lières xf+yf^ = o, déduites des relations /= o, /, = o, génératrices de 

 la classe. 



» De là une méthode, toute théorique, il est vrai, mais d'un caractère 

 intéressant, pour reconnaître si une forme (quadratique binaire, positive et 

 primitive, peut, ou non, représenter proprement un nombre donné : le 

 problème se ramènera à constater si une surface algébrique, qui ne dépend que 

 du nombre, contient ou non une courbe algébrique qui ne dépend que de la 

 forme. 



" S'il y a yî: représentations distinctes du nombre parla forme, la courbe 

 Cbl mullijjle d'ordre k sur la surface, et réciproquement. 



» IV. Considérons maintenant les deux surfaces hyperabéliennes qui 

 répondent à deux mvariants 4 A et 4D. 'e's 9"^ A et D soient premiers 



