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entre eux. Chacune d'elles contient, d'après ce qui précède, les courbes 

 qui répondent aux formes binaires positives, et nécessairement primitives, 

 qui peuvent représenter à la fois proprement A et D; réciproquement, le 

 long d'une courbe commune aux deux surfaces, les périodes correspon- 

 dantes des fonctions abéliennes vérifient deux relations singulières, telles 

 que les formes binaires qui en dérivent représentent proprement A et D : 

 il ne peut y avoir d'exception que pour des courbes particulières, le long 

 desquelles les modules (ainsi que les périodes) sont indéterminés, et qui 

 répondent à des cas de dégénérescence. 



» Donc, en dehors de ces courbes exceptionnelles, communes d'ailleurs 

 à toutes les surfaces hyperabéliennes considérées, deux surfaces d'inva- 

 riants 4A e^ [\D se coupent, si ^elY) sont premiers entre eux, suivant autant 

 de courbes algébriques distinctes qu'il y a de classes déformes quadratiques 

 binaires, positives et primitives, pouvant représenter proprement D e/ A. 



» V. Le groupe fuchsien de la courbe de l'espace C, qui répond à une 

 classe donnée de formes primitives, se détermine aisément. Soient 



(7) h-^-gg'^X), 



n = o 



les deux équations singulières génératrices de la classe : à deux systèmes de 

 périodes vérifiant ces équations et liés l'un à l'autre par une transforma- 

 tion du premier ordre correspond un même point de la courbe C, et 

 réci|)roquement. On est ainsi amené à chercher toutes les transformations 

 d'ordre i qui reproduisent l'ensemble des deux équations (7). 



H II est aisé d'établir que, si la classe correspondante n'est pas ambiguë, 

 les deux équations doivent séparément se reproduire sans changement ou 

 avec un changement de signes simultané, et Ton en déduit la forme générale 

 des transformations cherchées. Le résultat peut s'énoncer ainsi : 



» Posons, comme l'a fait M. Picard dans ses belles recherches sur les 

 transformations, qui laissent invariable la relation h'- — gg' — D = o, 



on a, entre ; et y), l'équation 



2 s/U + 2m\/D Ir, 4- n(^ -+- n) = o, 

 et l'on trouve que les transformations cherchées font subir à ^ les substitu- 



