SÉANCE DU 21 AVRIL 1902. 88l 



lions linéaires de la forme 



OÙ a,, i|, «3, 63 sont des entiers quelconques, assujettis seulement à véri- 

 fier la relation [en vertu de laquelle le déterminant (8) est l'unité] 



h'i — De!; — m(a', — Dai) -«(^36, — a, 63) = r. 



Aux substitutions (8) il faut ajouter celle-ci, dont le carré est la substitu- 

 tion unité : 



(9) ^.= 



^Dt 



de sorte que le groupe fuchsien de la courbe C est formé par l'ensemble 

 des substitutions (8) et (9), car les modules des fonctions abéliennes envi- 

 sagées, c'est-à-dire les coordonnées d'un point deC, sont évidemment des 

 fonctions uniformes de ^. 



» Ce groupe ne diffère que par la substitution (9) de ceux que M. Poin- 

 caré a déduits des transformations en elle-même d'une forme quadratique 

 ternaire; je reviendrai prochainement sur cette corrélation en étudiant les 

 fonctions abéliennes triplement singulières. 



» VI. Dans un ordre d'idées différent, voici quelques conséquences 

 arithmétiques relatives à la forme X* — 4YZ — 4 TU. 



» J'ai établi (/oc. cit.) que deux équations singulières de même invariant 

 sont toujours réductibles l'une à l'autre par une transformation du premier 

 ordre, ce qu'on peut énoncer ainsi : 



» 1° Toutes les représentations propres d'un nombre positif a, par la /orme 

 X- — 4YZ — 4TU, se déduisent de l'une quelconque d'entre elles, x, y, z, t, u, 

 par les formules 



X = x[2(ad\, — i] + ^y(db)„3-h 2.z(ac)a^-h- il{cd)a^ + ■iu{ab)^^, 

 Y = x (ad)^, -+- y{db)^,-\- s(ac)3, +- t(cd).,,-+- u{ab\,, 



Z = x {ad)^^ -h y(db)^2-h z(ac)„2+ [(cd)^..-^ u{ab)a„, 



T — x (ad)^^ -+- y(db).,^-\- z(ar)o3-\- tÇcd),^-^ u{ab)^^, 



U = a; (ad),, -h y(db),,-h =(ac)„,-f- t{cd),,-+- u(ab)„,, 



où {ab)ij désigne Uibj — Ujb^, et où les seize entiers a,, b^, c,, d^ sont les coef- 

 ficients d'une transformation abélienne du premier ordre. 



c. R., 1902, 1" Semestre. (T. CXXXIV, N" 16.) I 16 



