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préalable une transformation de contact convenable, supposer ces équa- 

 tions ramenées à la forme 



I x' = X( r, y, 3, /), q), y' — Y {x, y, z, p, q), 

 *^''* [p' ^P {x, V, z. p, q), q' = Q {X. y, s. p, q). 



les fonctions X, Y, P, Q dépendant des cinq variables x, y, z, p, q. 



« En écrivant que p' dv' + q' dy' i-st une différentielle exacte, on est 

 encore conduit à nue équation du second ordre de Monge-Ampère, que 

 nous écrirons, en conservant les notations de la Note précédente, 



(2) V.,,^('i - S-) + R,,,r 4- R,.,/ -h- -S+ R,, = o. 

 » Pour avoir les expressions de ces coefficients, posons 



(3) P r/X -h Q r/Y = F, fi.v -+- F., dy -f- F, dp -j- F, r/y, 

 en remplaçant, dans f/X cL /Y, dz \yAvpdx + q dy, et soit 



Tu-âl-Pàz' dy ~~ dy ^ ^ àz' 

 les coefficients R^^, R^^, R^,. R^;,, S ont les valeurs suivantes : 



p _ ^^ _ ^' P - ''^ - ^ 



\ "/-ï - dq ôi. ' •''' ~ 'dy dp ' 



f/v (>(/ i)/t dx 



» 2. L'éqnalion ( 2) étant donnée, pour que les équations précédentes 

 soient compatibles en F,, F^, F,, F^, il faut et il suffit que les coeffi- 

 cients R^,. Rp^, R,/.- Ra^?. S vérifient les cinq relations suivantes : 



j dy\ dp' ) dx\ dq ' àp dq dx dy dz' 

 \dy\dr) dy dx\ dp ' 5/»' dy\ dq } dz 



d?^.rn 



.. \ d (dS\ .fR^_ ±,dK,\ ^ àn\^, d /<)R,, 



*^^^ ^rfx^,(^r/;~ ./u-^ ^ dy\ dq ^^ ' dq^ dx\ Op 



à: 



dp "q ~^ ''y \ dq ' ' dx V Op ; dp' '^ Ô.j- dz 



\ J.xdy'^ "dx- ~^ c/y'''~dx\ àp ) dt-\ dq J dz 



xy 



