SÉANCE DU 5 MAI 1902. Io37 



» Pour qu'une équation de Monge-Ampère provienne iriiiie transfor- 

 mation (le Bârklund de la forme (i), il faut que ses coefficients, après les 

 avoir mulliplics p.ir un facteur convenablement choisi, vérifient les rela- 

 tions (5). S'il en est ainsi, les solutions des équations (4) s'obtiendront 

 par des quadratures. 



)) Soient F,, F2, F3, F< un système de solutions de ces équations et 

 l](x, V, z,p, q) une fonction arbitraire. La forme de Pfaff 



(6) F, r/.r -I- Fo "V + F, dz + F, dq + {](r{z - pdx — q dy) 

 étant ramenée à la forme réduite 



(7) r/Z --Pr/X -^Or/Y, 



en prenant pour les fonctions X. Y, P, Q des formules (i) les fonctions 

 qui figurent dans la forme réduite précédente, l'équation du second ordre 

 proviendra des relations (i) par la transformation considérée. On voit que 

 cette équation pourra s'obtenir au moyen de formules de la forme (i) d'une 

 infinité de manières, puisque la fonction U reste arbitraire. 



» 3. Jusqu'ici, à part la complication plus grande des formules, on voit 

 que la solution du nouveau problème ne diffère pas essentiellement de la 

 solution du problème traité dans la première Note. Mais il nous reste une 

 question importante à examiner. En effet, les relations (i) conduisent 

 bien toujours à une équation du second ordre pour s, mais, si les fonc- 

 tions X, Y, P, Q sont quelconques, elles conduisent pour z' , considérée 

 comme fonction de x' , y', à un système de deux équations du troisième 

 ordre, et non à une équation du deuxième ordre. On est donc conduit 

 à traiter le problème suivant : Que/les rt^lations doil-ily avoir entre les coeffi- 

 cients F,, Fj, F3, F^, U de la forme de Pfaff {Çi^ pour que les formules (i), 

 où X, Y, P, Q sont les fonctions qui figurent dans la forme réduite (j), 

 conduisent à une équation du deuxième ordre en z'? 



» Il y a encore deux hypothèses à examiner, suivant que l'on a une 

 transformation Bj ou une transformation B3. Pour obtenir une transfor- 

 mation Bj, il faut et il suffit que U vérifie l'équation du second degré 



/ux )\ày da:)\dij dp) \dp ày)\àcj Ox ) 



' \(Jp âx )\d.i Oy ^ )' 



Il l-es coïKiitions auxquelles doit satisfaire la fonction U pour que l'on 



