lO'io ACADÉMIE DES SCIE^■CES. 



Ce Lhéorème fournil la solution du problème de la dcformntion dans un 

 cas nouveau; car, si l'on fait ?(X) = o, toutes les surfaces (S) correspon- 

 dantes sont dùfuiies |)ar les formules (3) et (4), et l'on peut énoncer le 

 théorème suivant : 

 » Les formules 



x== A.B, - A3B, -^/A^rM,- A,f/A,-/B2^B3- B3 f/B^ -^ (A, + B,) v'Â. 

 y = A,B, -^ A,B,-f-/A,^/A,— A,rt'A,~/B.,f/B, - B, r/B, + (A, 4- B,) v'Â, 

 z = A, B,- A,B, -^/A, dk, ~ A,rl\,-f\\, ^/B, - IV, r/B, + (A3 + B,) y,l\, 



. S(A/ + b ,-)a;s(A , + b,)b; c/ \ _^ r n-^ 



A = g^T^^ b(A,- , li,) . 



</an5 lesquelles les fonctions A, ei B^ îo/i/ assujetties à vérifier les relations (4), 

 définissent toutes les surfaces applicables sur le conoïde droit 



■2 1ZY^\ 



(5) J = àA(2V 



» On pourra, comme dans la théorie des surfaces minima, exprimer A,, 

 A2, A, au moyen d'une fonction /(a) et de ses dérivées première et 

 seconde, et B,, B,, B, au moyen d'une fonction /, (p) et de ses dérivées 

 première et seconde. On obtiendra alors des surlaces réelles en prenant 

 pour \lif((/.) et \ii f,{'^) des fonctions imaginaires conjuguées; les points 

 réels correspondront à des valeurs de a et de ^ imaginau-es conjuguées. Si 

 /"(«.) et /, (P) sont des polynômes entiers, la surface sera algébrique. 



» En s'appuyaut sur la génération des surfaces de la première classe, 

 due à M. Darboux, on peut donner, à l'énoncé ci-dessus, une forme entiè- 

 rement géométrique. 



» Soient (A) et (B) deux courbes telles que le rayon de torsion égale 2ts, 

 s désignant l'arc de la courbe. Par le milieu de la corde qui joint un point 

 quelconque k de (A) à un point quelconque B de (B), on mène une droite d 

 parallèle à V intersection des plans osculateurs aux pomls A e^ B. Lorsque ces 

 points se déplacent indépendamment l'un de l'autre sur les courbes qui les 

 contiennent, la droile d engendre une congruence sur les deux nappes de la 

 surface focale de laquelle les lignes d'égale courbure totale sont des lignes de 

 courbure. Les nappes des développées de ces surfaces qui correspondent à ces 

 lignes de courbure sont applicables sur le conoïde de fini par i équation (S). 

 Celte construction donne toutes les surfaces applicables sur ledit conoïde. 



» Eu terminant, je signalerai l'hypothèse <p(X)= , , ^ _ ; elle met en 



