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» Ces considérations permettent d'intégrer par des séries toutes les 

 équations linéaires à coefficients rationnels. Elles fournissent en effet, 

 pour les intégrales, des développements en nombre limité, et convergeant 

 chacun dans une certaine portion du plan. La concordance entre ces 

 divers développements s'établit en les comparant ensemble dans une 

 région où plusieurs d'entre eux convergent. M. Fuchs a d'ailleurs fait voir 

 qu'on peut, par une transformation algébrique, réduire à deux seulement 

 le nombre des régions distinctes à considérer. 



» Le calcul des intégrales se simplifie beaucoup lorsque les séries sui- 

 vant lesquelles on les développe sont limitées du côté des puissances néga- 

 tives; car les coefficients peuvent alors s'obtenir par la méthode des coef- 

 ficients indéterminés. Les équations dont les intégrales jouissent de cette 

 propriété forment donc une classe remarquable. M. Fuchs assigne leurs 

 caractères distinctifs; il donne en outre un critérium permettant de recon- 

 naître si les intégrales contiennent ou non des logarithmes. 



» Ce beau Mémoire, paru en 1866, est devenu promptement classique; 

 il a servi de base à tous les travaux publiés depuis cette époque sur cette 

 théorie. 



M M. Fuchs a pris d'ailleurs une part prépondérante à son rapide déve- 

 loppement; et l'on pourrait difficilement citer un progrès important dont 

 il ne puisse revendiquer l'initiative. 



» Ainsi, il avait été frappé de cette circonstance que toutes les intégrales 

 particulières d'une équation linéaire ont les mêmes points critiques, dont 

 la position peut être assignée a priori, sans intégration. Mais cette propriété 

 fondamentale ne leur appartient pas exclusivement. Il s'est donc ])roposé 

 de former toutes les équations à points critiques fixes, et il a donné la 

 solution de ce problème pour le premier ordre. Pour le second ordre, la 

 question est plus difficile et n'a été résolue que plus tard par M. Painlevé. 

 )) C'est également M. Fuchs qui a posé le problème, traité, après lui, par 

 plusieurs géomètres, de déterminer toutes les équations linéaires dont les 

 intégrales sont algébriques. Par une ingénieuse application de la théorie 

 des invariants, il est arrivé à des résultats presque définitifs pour les équa- 

 tions du deuxième et du troisième ordre. 



M Une classe plus générale est celle des équations dont les intégrales 

 sont liées par une relation algébrique homogène. M. Fuchs a étudié parti- 

 culièrement sous ce point de vue les équations du troisième ordre et a 

 obtenu les résultats suivants : 



i> Si la relation est quadratique, l'équation admet pour intégrales a;'-. 



