SÉANCE DU 12 MAI 1902. IIOI 



» Laissant de côté l'interprétation géométrique du système (I), je ferai 

 remarquer d'abord que toute solution (a, ^, h,k) satisfait à l'identité 



h- + k'- — a? — p- = const. 

 » En second lieu, à toute solution telle que 



/j2 + P _ OL- — fi^ == I 



correspond un système fondamental de solutions tel que 



^« + ^« — «^-^«=1. 

 Khm + knk„, — a„a,„ — p„p„, == o, 

 où 



/«== 0,1,2,3, « = 0,1,2,3, ao=a, Po=P) h^^h, ka=k. 

 » On voit que les fonctions 



'«n. ' i{^n< K, ^n (rt = 0, 1,2,3) 



sont les coefficients d'une substitution linéaire orthogonale dans l'espace à 

 quatre dimensions. 



» 2. L'application que j'ai en vue aujourd'hui repose sur ce fait que 

 l'expression {/i7.„du + k'^^dv) est une dilférentielle exacte : 



hoi.„du-h k^„ dv = É^ô. 



» En particulier, pour n =^ o, 



hrj. du + k^dv = U^K" + P) = irf(oc= + p») . 



» Ceci posé, considérons les trois fonctions X, Y, Z, 



IAix, du + ^p, dv = idX, 

 hoi.du + kf^^dv = idY, 

 htx.^du -\- kfj.^ dv = idt. 

 Il est clair que 



d^^ + dX-" + ^Z- = h- du" + k-" dv' + {hc>.du -(- k^dv)- ; 



or le second membre est le carré de l'élément linéaire du paraboloïde de 

 révolution 



(P) ^z = x- + y\ 



