SÉANCE DU 20 MAI 1902. Il3l 



Commission chargée de présenter une question de prix Alhumhert pour 

 l'année igoS. — MM. Darboux, Bouquet de la Grye, Berthelot, Gaudry, 

 Maurice Levy. 



CORRESPONDANCE. 



M. E. vox Leyde.v adresse ses remercîments à l'Académie, pour le témoi- 

 gnage de sympathie qu'elle lui a fait parvenir à l'occasion de son 70* anni- 

 versaire. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés arithmétiques des fonctions 

 entières et quasi entières. Note de M. Edmond Maillet, présentée par 

 M. G. Jordan. 



« Les polynômes F(a;) à coefficients rationnels jouissent de diverses 

 propriétés que l'on pourrait chercher à étendre aux fonctions entières et 

 quasi entières (' ). Ainsi : 



» 1° Le produit de deux polynômes à coefficients rationnels a ses coef- 

 ficients rationnels; 2° si x est rationnel ou algébrique, F(a;) l'est égale- 

 ment; 3° si h est rationnel ou algébrique, ¥(^x-hb) ordonné suivant les 

 puissances croissantes de x a ses coefficients rationnels ou algébriques. 



» Dans quelle mesure ces propriétés subsistent-elles pour les fonctions 

 entières ou quasi entières? Sans traiter complètement la question, nous 

 avons pu la résoudre dans des cas suffisamment étendus pour voir que ces 

 propriétés ne subsistaient probablement pas, sauf peut-être la première, 

 pour les fonctions entières. 



i" Fonctions entières. 



» On sait que e^ — a =^ o (a algébrique) a toutes ses racines transcen- 

 dantes (Lindemann). e'^'^'', où b est rationnel, a tous ses coefficients trans- 

 cendants. De même, si X (a?) = V — a;" («„ entier limité, t^ entier croissant 





 suffisamment vite avec n), X(j;) est transcendant quand x est algébrique. 

 Mais le produit de deux fonctions entières à coefficients rationnels a ses 

 coefficients rationnels. 



(') Pour la dcfinilion de ce mot, voir Comptes rendus, 17 février 1902. 



