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ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les rayons de convergence cl' une série double. 

 Note de M. Eugène Fabry, présentée par M. H. Poincaré. 



« Soit une série 



p = o 7=0 



M. Lemaire a montré (Bulletin des Sciences mathématiques, 1896) comment 

 on peut obtenir des systèmes de rayons de convergence associés. Si 1 est 

 la plus grande limite de ^"^v/ja^ JA'', lorsque p -h q devient infini, on a les 

 rayons de convergence X = ^, Y = y Je me propose de montrer que les 



divers systèmes que l'on obtient en faisant varier k sont liés par certaines 

 lois très simples. 



» Tant que A > o, on a a > o, car autrement la série serait convergente 

 pour toutes les valeurs finies de a; et j. Soit X'>^-> o, l'-^l > o et X'Y', 

 XY les systèmes que l'on en déduit. On a 



^1/k:;IF*<^''^^k^ et l'iiÇ 



» Donc, si 



r Y 

 X' ^x' 



on a 



X'<X, Y'>Y 



et si XY, X'Y' sont deux systèmes quelconques de rayons associés, on a 



(X' — X)(Y'- Y)<o. 



» Cette inégalité résulte, du reste, immédiatement de la remarque sui- 

 vante : pour que X, Y soient des rayons de convergence associés, il faut et 

 il suffit que la plus grande limite de \J\ a^,^^ | X/'Y?, lorsque p -\- q devient 

 infini, soit égale à r. 



» Soient /?:"> A' >/:> o, \" la.limite supérieure, et X"Y" le système de 

 rayons associés qui correspondent à k". On a 



r>v>).>o. 



