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» En particulier, si X' = X" et Y'< Y", on a toujours X = X' lorsque 

 Y < Y' . 



» On peut encore obtenir l'ensemble des rayons associés comme enve- 



loppe d'une droite mobile. Supposons que — - — reste compris entre a 



+ 

 et a -t- j, où G < y. < I, s tendant verso lorsque /> -t- y devient infini; psera, 



par cxeinpic. compris entre y.(p + q) dz \/p -h q. Soit alors X la pins 

 grande limite de ''"v'|"«^. celle de '"v/| «/., ? | ^'^ Y"? sera aX«Y' % et pour 

 tout système XY on a 



a. logX -f- ( 1 — a) loo Y + logA<o. 



En faisant varier a entre o et i, on a une série de droites dont l'enveloppe 

 donne les svstèmes de rayons associés. Cette enveloppe peut comprendre 

 des courbes et des portions de droites. Dans ce dernier cas, il y a une infi- 

 nité de systèmes liés par une relation de la forme X^Y'-*^ C, où X varie 

 entre deux limites déterminées. En généralisant les méthodes de recherche 

 des points singuliers pour les séries simples, on arrive, dans ce cas, au 

 théorème suivant : 



» Si la serre a des rayons de convergence liés par la relation X^Y*"" = C, 

 où X'<X<X", soit X,Y', l'un de ces systèmes; si le point x = X,e"", 

 y=: Y,e"'' n'est pas singulier, le point d'arguments wm' n'est singulier sur 

 aucun de ces systèmes. De sorte que les points singuliers situés sur ces circonfé- 

 rences de convergence^ont les mêmes arguments. 



» Si, X = X' reste constant, lorsque Y < Y', il y a un point x = X'e"' sin- 

 gulier quel que soit y. Si ''^\/|^/>,?l '^^^^ ^'^''•^ *^' sauf pour des suites telles 

 nue —^ — fende vers o, X reste constant quel que soit Y. Si cela n'a pas lieu, 



a peut tendre vers o et l'on peut distinguer trois cas : 



» 1° Si à partir d'une valeur (/e X, Y = Y' reste constant, il y a un point 

 y r= Y' e"' singulier quel que soit x ; 



» 2" Lorsque X tend vers o, si Y tend vers une limite finie Y', // y a un 

 point singulier x = 0, y — Y' e"', mais x = 0; y n'est pas singulier lorsque 



|J1<Y'; 



» SiY augmente indéfiniment lorsqueX tend irrs Cl, x — o; y n'est jamais 



singulier lorsque y est fini, mais le point a: = o, y = co est singulier. » 



