SÉANCE DU 26 MAI igo2. I rgS 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation exponentielle générale et 

 quelques-unes de ses applications. Note de M. L. Desaint, présentée 

 par M. H. Poincaré. 



« On connaît la représentation d'une fonction périodique par une 

 somme d'exponentielles à l'intérieur d'un rectangle. 



» On sait aussi que, dans un grand nombre de problèmes dont la solu- 

 tion se rattache à l'intégration d'équations difTérenlielles et fonction- 

 nelles, on suppose vossihle a priori la re|jrésentation d'une intégrale sous 

 la forme d'intégrale définie 





se présentant comme somme (non dénombrable cette fois) d'exponen- 

 tielles. M. Poincaré, en reprenant cette méthode due à Laplace, a pu 

 donner la solution d'une équation linéaire à coefficients algébriques en- 

 tiers. 



» De plus, les questions de calcul fonctionnel distributif se rattachent 

 intimement à la représentation exponentielle. 



» Voici tout d'abord la généralisation de la proposition sur le dévelop- 

 pement d'une fonction périodique : 



» Toute fonction holomorphe à l'intérieur d'un rectangle s'y développe 

 toujours en une série d'exponentielles. 



» Cette proposition se complète d'ailleurs par la suivante : 



» Une fonction holomorphe dans une aire limitée par un contour con- 

 vexe est toujours représentable dans cette aire par une somme d'exponen- 

 tielles. 



* 



» Dans ce dernier énoncé, la somme d'exponentielles n'est pas dénom- 

 brable; c'est une intégrale double qu'on peut ramener à une intégrale 

 simple, en prenant un contour polygonal convexe comme contour de l'aire 

 du développement; celui-ci se présente sous cette forme 





a^ étant une constante. 



C. R., 1902, 1" Semestre. (T. CXXXIV, N« 21.) l56 



