Ij,)^l ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Les deux propositions générales qui précèdent s'étendent d'ailleurs 

 immédiatement aux fonctions de plusieurs variables holomorphes sur une 

 surface formée par des aires convexes dans le plan des variables res- 

 pectives. 



.. Applications. — La résolution des équations différentielles linéaires et 

 des équations fonctionnelles, dans beaucoup de cas, est aisée par l'applica- 

 tion des théorèmes précédents. Le calcul de généralisation de M. Oltra- 

 mare y trouve sa juslidcalion dans des circonstances générales; certains 

 résultats de M. Pincherle sur les opérations distributives sont rendus 



intuitifs. 



» Dans un autre ordre d'idées, l'application de la représentation expo- 

 nentielle à la recherche des points singuliers de fonctions définies par une 

 série de Taylor est des plus fécondes. L'emploi de cette représentation 

 m'a permis d'arriver aux résultats exposés dans ma Note du 6 mai 1901. 

 Voici deux nouvelles propositions : 



» Soit /(a;, y) une fonction de deux variables donnée par la série 



valable à l'intérieur et sur les cercles de rayon un de leur plan. Si 



ne devient infinie pour des valeurs infiniment grandes de la variable que si 

 l'une au moins des variables s'éloigne ii l'infini suivant une direction com- 

 prise, pour u dans un certam angle X < -, et pour cdans un angle .l,'<-; 

 si, de plus, 9 est l'angle de l'un des côtés de AAo<^i<r.) avec la partie 

 positive de l'axe des quantités réelles, 6' étant l'angle analogue pour X' , 

 la fonction /(.r,j), définie par 



J\x,y)----^k{n,m)cc"y"\ 

 a ses points singuliers sur les spirales 



I _ .r e'"- ' =0, I - ye"^ = o, 



situées respectivement sur le plan des x et le plan des j. 

 » Plus généralement : 



» Soit 



f{x,y)=^k{m,n)x"'y 



