IIP^I ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Soit /{x) une foncLion de variable complexe définie dans un 

 domaineD; on suppose: 



>) i" Que cette fonction est continue dans D; 



» 2" Qu'elle est monogène dansD, sauf peut-être pour certains points ^ 

 (intérieurs à D). 



)) Si les points i forment dans D un ensemble réductible de points ou de 

 lignes rectijîables, la fonction f{x) est monogène aussi aux points 'i et, par 

 suite, est holomorphe dans le domaine D tout entier. (Il est sous-entendu, 

 dans cet énoncé, que les points intérieurs du domaine D forment un 

 ensemble d'un seul tenant. ) 



» III. J'ai étendu ce théorème à certaines catégories de lignes continues 

 non rectifiables, mais on conçoit tout de suite qu'il est impossible de 

 laisser, dans l'énoncé précédent, au mot ligne le sens général qu'il com- 

 porte ; les lignes continues de M. Peano peuvent remplir des domaines, et 

 avec de lelles lignes la projjosition précédente est manifestement inexacte. 

 » Si les points ï, forment lians D un ensemble parfait purement ponctuel, 

 la proposition est vraie. Il n'en est pas de même s'il s'agit d'un ensemble 

 parfait quelconque (à deux dimensions et non dense). 



» On peut construire, en effet, une fonction de variable complexe ;:(a;), 

 ayant les propriétés suivantes : 



» 1° Elle est continue dans le domaine D où elle se trouve définie; 

 » 2" Dans toute portion de D on peut trouver une région assez petite 

 dans laquelle z{x) est holomorphe; 



|> 3° 5 (a?) n'est pas analytique dans le domaine D tout entier. 

 « IV. Il est inutile d'insister sur le rapport immédiat qu'il y a entre les 

 généralités qui précèdent et la théorie du prolongement analytique; nous 

 n insistej-ons pas non plus ici sur les ap|)lications que ces généralités 

 trouvent dans la même théorie, qu'il s'agisse du prolongement au sens usuel 

 du mot ou du prolongement généralisé, d'après les idées de MM. Borel 

 et Fabry. 



' Rappelons seulement ce théorème fondamental : 



I' Deux fonctions analytiques holomorphes dans un domaineD, sur la fron- 

 tière duquel elles prennent la même suite (continue ou discontinue) de valeurs, 

 coïncident dans D. 



» V. On sait que le caractère essentiel d'une fonction analytique est 

 une sorte de solidarité entre les valeurs de cette fonction, dans le domaine 

 où elle se trouve définie. L'intégrale de Cauchy met, justement, en évi- 

 dence ce caractère essentiel dont le prolongement analytique n'en est que 

 la traduction arithmétique. 



