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«, . . ., y" désignant des entiers de déterminant ± i : les deux relations sin- 

 gulières 



xf +_r<p + ^li = o, x{<j.f-\- ^(p + YJ/') + j(a'/ + ...)+ :;(a"/ + ...)= o 



ont donc même invariant, quels que soient x, y, z, c'est-à-dire qu'en 

 posant 



X = aa; + c// y + al' z, Y = ^o: + '^J y + ^"z, Z = y^ + y'y + y" :;, 



les deux formes 



'Dx' -f- S.rv + Ay- + B" ;- + Cj: + E::^- 

 (6) I et 



DX= + Î5XY + AY= + B'-Z^ -i- C'YZ + E'ZX 



sont identiques. En s'appuyant ici sur l'hvpothèse 4D^ — §■-— 12P, et sur 

 ce que la forme (F,,) n'a pas de transformation en elle-même (autre que 

 les deux transformations évidentes), on arrive à démontrer qu'on a 

 nécessairement 



X = £.r+a"=, Y = iy-^^"z, Z^.z, 



£ désignant rhi. Par suite, a'=p = y=y'=o, a = ^' = y"=2, c'est- 

 à-dire que la transformation d'ordre /m qui réduit l'un à l'autre les sys- 

 tèmes (4) et (5) change/ et cp en e/et eç. 



» Je détermine toutes les transformations qui jouissent de cette dernière 

 propriété, et je trouve qu'elles remplacent le svslème (4) par le système 



A^-.i;-'-D = o, o^_A^'-S = o, --îB,/i-C,o''-E, = o, 



où B,, C,, E, sont des fondions linéaires et homogènes de B, C, E, 

 fournies par des formules qu'il serait trop long de transcrire; on reconnaît 

 dans ces formules celles qui donnent certaines transformations en elle- 

 même de la forme ternaire indéfinie (en B, C, E) 



(S) (4DA- S-)B^-DC=+SCE- AE=, 



qui est la moitié du discriminant de la première forme (6). D'une manière 

 précise, si ($) est la récij)roque de {§), on sait que les transformations 

 de(5') en elle-même sont liées aux solutions propres en nombres entiers 



