SÉANCE DU 2 JUIN 1902. 1205 



de certaines équations du type 



p'' -h i>(q, (/,(/") = 2\N, 



N étant un diviseur du discriminant de la forme (^) et h un entier ne 

 pouvant prendre que certaines valeurs en nombre limité, parmi lesquelles 

 zéro. Les transformations que nous obtenons sont celles qui dérivent des 

 solutions de l'équation 



et celles qui consistent à changer les signes de C et E sans changer celui 

 de B; nous dirons, pour abréger, que ce sont les iransfonnallnns principales 

 de la forme (5') en elle-même. 



» III. D'après cela, si l'on observe que deux formes, telles que (6), sont 

 équivalentes dès qu'elles ont même discriminant, on arrive au résultat 

 qui suit : 



» Soit une forme (F„), de discriminant 2(0; désignons par i2 le plus 

 grand commun diviseur des coefficients de l'adjointe, et choisissons arbi- 

 trairement une forme binaire primitive (Go), représentable proprement 

 par (F„), dont le déterminant soit de la forme 9.V, P étant premier et non 

 diviseur de 2®. Soit Go = DX= -l- SXY -l- AY= ; considérons toutes les solu- 

 tions de l'équation en B, C, E : 



(7) B^(4DA- î5-)-DC=-^-oCE-AE==cO. 



telles que 2B, C, E soient sans diviseur commun. D'une de ces solutions, 

 on en déduit une série infinie d'autres, jouissant de la même propriété, par 

 les formules qui donnent les transformations principales en elle-même de 

 la forme ternaire (indéfinie) en B, C, E, qui constitue le premier membre 

 de (7). Les solutions considérées de (7) se répartissent ainsi en un nombre 

 limité de séries; choisissons arbitrairement une solution dans chaque série, 

 et soient (B,,C,,E,), (Bo,C2,Eo), ..., (B,,, Q, E^) les solutions choisies. 

 » Cela posé, les systèmes de trois relations singulières, non réductibles 

 l'un à l'autre par une transformation d'ordre un, qui donnent naissance à 

 la classe de formes équivalentes à (F„) se ramènent aux k types : 



l /'■' - gg' - D = o 



(8) ^• — Ag'— S^-o {i = \,i, ..., k). 

 \ 2B,A-C,-^-E, = o 



On ne regarde pas comme distinctes les solutions B, C, E et — B, — C, — E ; 



