SÉANCE DU 2 JUIN 1902. 1289 



)i I. Groupe NOîs PERMUTABLE. — Il dépend de la seule fonction "C(j:,j), et 

 le groupe peut s'écrire: ^(.r, Y) = rt,"C(ar, r) + a. Pour que le groupe soit 

 algébrique en y, il faut et il suffit que 'C(.a;, y) soit algébrique en y. Prenant 

 'C(x', y) comme nouvelle variable y, le groupe est ramené algébriquement 

 à la forme Y = a,/ 4- «. L'équation la plus générale qui admette ce groupe 

 est évidemment 



y" = g 'x)y' (g fonction arbitraire de oc). 



» II. Groupe permutable. — Un tel groupe est déterminé par Cl,-'"} 

 et-/](.r,y). En introduisant, par exemple, les variables canoniques de I-ie, 

 on trouve que l'équation la plus générale qui admette ce groupe est 



(A) 



y" 



7) (iY-hr^g,(x), 



la quadrature est prise en supposant x constant; g,{x) est une fonction 

 arbitraire de x. L'intégrale générale j est définie par l'équation 



r-y^ = f'C'dx f^ dx + €<:(*■) + C, 



(C, C| constantes arbitraires). 



» Appliquons maintenant ces résultats au cas où le groupe est algébrique 

 en y, ainsi que l'équation (A) ('). 



» Pour une valeur déterminée àex, un groupe (G) permutable, algé- 

 brique, peut être ramené par une transformation algébrique effectuée 

 sur j au groupe défini par les deux équations j = A(»), Y =i}/(U), où 

 U = « + h{x, a, «,), la fonction 1} étant soit la fonction p de Weierstrass, 

 soit une dégénérescence e" ou u. On voit aisément que h est nécessaire- 

 ment de la forme 



h — a^{x) + r/,pi(a7). 



» Nous allons chercher à disposer de et de p, de façon que l'équa- 

 tion (A), qui admet ce groupe, soit algébrique en y. Nous examinerons 



(') Une telle équation (A) étant rationnelle en/' et, d'autre part, réductible à une 

 équation à points critiques fixes ( Painlevé, Comptes rendus, i"' iemasira 1900, p. 767), 

 il est certain qu'elle rentre dans les types canoniques énumérés par M. Painlevé 

 {Acta mathemcUica, t. XXV). Mais je me propose de former explicitement ces équa- 

 tions (A). 



