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séparément le cas où l'invariant de la fonction p dépend de x et celui où il 

 n'en dépend jias. 



» 1° L'invariant de la fonction p dépend de x. — On peut toujours, en 

 changeant la variable œ et en effectuant sur 7 une transformation linéaire, 

 donner à p'u la forme 



p'u = s/y(y-i)(y-x), 



avec y = iX^') P'^ +- \)-{x). 



« La quadrature qui figure dans le ternie indépendant de y' de l'équa- 



f' dy 



lion (A) introduit l'intégrale elliptique J = / _ et ses 



deux dérivées partielles par rapport à x, J' et J". 



» La méthode classique de réduction des intégrales elliptiques permet 

 d'exprimer J" linéairement en fonction de J et J'. On trouve alors, si 

 l'équation est algébrique, que les deux fonctions p et p, sont solutions de 

 l'équation 



a" — ?'( - H — ) — -rT-^ \ = O- 



» On reconnaît l'équation linéaire homogène que vérifient les périodes 

 de la fonction p. L'équation (A) correspondante est 



( y"=^U^ + -^ + -^V"- (-^ + - + -—V 



) - 2 Vr J — 1 y -xjJ V J — ^ ^ x — i)-^ 



» Cette équation, classique sous une autre forme dans la théorie des 

 fonctions elliptiques, a été signalée par M. Picard, puis étudiée par 

 M. Painlevé qui a montré que son intégrale tst une fonction essentielle- 

 ment transcendante des deux constantes. Une transformation algébrique 

 en J permet de supposer la fonction arbitraire g{x) identiquement nulle. 



» 2° L'invariant de p est indépendant de x. — On arrive aussitôt à l'équa- 

 tion 



» Une transformation algébrique en y permet d'annuler q et r. L'inté- 

 grale est fonction semi-transcendante des constantes. (Cf. Painlevé, Acta 

 tnathematica, t. XXV.) 



