SÉANCE DU 9. JlîIX 1902. 1291 



>) 3" i/^^c". — L'équation correspondante est 



(3) y" —^ -\- q{x)y' + r(x)y (y. /■ fonctions arbitraires), 

 qu'une Lransformalion Y = y.(x)y, X = fi (a;) ramène à la forme 



Y 



L'intégrale est fonction semi-transcendante des constantes. 

 » 4" <h(u')^^ii. — L'équation correspondante est 



(4) y" == q{x)y' + r{x)y -^ s(x). 



I) En définitive, toutes les équations du second ordre algébriques en y", y', y 

 {analytiques en x), qui admettent un groupe G algébrique en y (à deux pa- 

 ramètres^, sont réductibles à une des équations (i), (2), (3) ou (4) par une 

 transformation X = /(.•r), Y = \{y, x) (■]/ algébrique en y). 



)) Les équations ainsi obtenues rentrent bien dans les types donnés par 

 M. Painlevé. Mais, en traitant le problème analogue pour les équations du 

 troisième ordre, on peut espérer être conduit à des transcendantes uni- 

 formes d'un caractère nouveau. » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur deux problèmes de Géométrie. 

 Note de M. Servant. 



« Nous nous proposons, dans cette Note, de ramener l'un à l'autre deux 

 problèmes importants de Géométrie infinitésimale. Nous allons montrer 

 qu'à toute surface à lignes de courbure isothermes on peut faire correspondre 

 une surface admettant une déformation conservant les rayons de courbure 

 principaux, et inversement. 



» Considérons nue surface isothermique S dans l'espace à courbure 

 constante à trois dimensions (on peut déduire par des opérations algé- 

 briques une telle surface S de toute surface 1 isothermique de l'esijace 

 ordinaire), surface que nous supposerons rapportée à ses lignes de lon- 

 gueur nulle; les formules de Gauss[voir Bianchi, Lezioni di Geometria 

 (Ann. di Math., 1897)] s'écrivent : 



ds- = 2ldudv, 

 d /T)'\ ÔD 



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- tv = o. 



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