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il vient 



(3) logM(/-)>ie,(0 + ^e,(r) + ^|03(.)+... 



en n'écrivant pas les termes qui correspondent à la limite supérieure t=:r, 

 et qui sont négligeables. 



)) La fonction e(r) étant à croissance très rapide, les fonctions 0,(r), 

 62 (r), . . . croissent bien moins vite (') que 9(r). Les premiers termes de la 

 série écrite dans le second membre de (3) décroissent donc très rapidement, 

 et comme, d'autre part, on peut arrêter ce développement, d'après (2), à 

 un terme quelconque, avec un facteur correctif sans importance, on peut 

 écrire 



(4) logM(r)>'^(, + 3), 



£ tendant vers zéro lorsque r augmente indéfiniment. On peut ajouter que 



on a 



(5) s< 



Ur) 



d'où l'on conclut, en général, que i est de l'ordre de grandeur de , — ^ 



' ^ log6(/) 



» On peut écrire aussi, si l'on suppose les f onctions à croissance Te'guliére, 



M(/-) 



i, s" vérifiant toujours la relation (6). 



)> La relation qu'il y a entre l'ordre de grandeur de la fonction et la 

 densité de ses zéros se trouve ainsi établie, à la fois, avec une grande sim- 

 plicité et une grande précision; elle s'exprime par les relations (4) et (5); 

 les réciproques s'établiraient d'une manière analogue (voir mes Leçons sur 

 les fonctions entières et le Mémoire cité de M. Lindelof). 



» J'ai tenu surtout à exposer ici la méthode différentielle employée, qui 

 me paraît pouvoir rendre de grands services dans l'étude des fonctions de 

 genre infini. >> 



(') Par exemple, si 0(/') = e"'"', on a 



0,(/-)<e-'-0(/-), 

 0!,(/-)<e-''0,(/). 



