SÉANCE DU 9 JUIN ig02. l3/|5 



ANALYSE ALGÉBRIQUE. — Un cas remarquable de transformation rationnelle 

 de l'espace. Note de M. D. Gravé, présentée par M. É. Picard. 



« Prenons deux équations 



( I ) A„a" + A , a""' -l- . . . -h A„_, a 4- A„ = o, 



(2) B,,^-'' + B, /y-' + ...-\- B„_, Z* + B„ = 0, 



d'un même degré n. 



» En désignant par «,, i, les racines de ces équations et par les sym- 

 boles n/(a), n/(^) les produits de / racines quelconques, formons les 

 fonctions 



0,., = irr,(a)n,(è) 



o\x i^k'Sn, x'^l'Sn, l -\- k'Sn ei Xa somme est étendue à tous les produits 

 possibles des racines, en tenant cependant compte que dans les deux pro- 

 duits n^(a), n^(é) ne doivent pas figurer les racines avec les mêmes indices. 

 Le nombre de pareilles fonctions est évidemment ^«(« — 1). 

 » Si l'on élimine les racines entre les équations 



(3) Qk.i=^k.i 



où C^^ sont des nouvelles constantes, on obtient {n(^n — i) relations entre 

 tous les coefficients A,, B,, C^j. 



» Il n'est pas difficile de se convaincre que les relations seront de telle 

 sorte qu'on pourra lesrésoudrerationnellement par rapport à deux groupes 

 de ^n{n — j) coefficients, 



A2, A3, ..., A„, C/,y (où/;>i), 

 B„ B,. ..., B„, C,,, (où/>i). 



» Appliquées au cas de « = 3, nos considérations donnent une transfor- 

 mation birationnelle de l'espace à trois dimensions, qui a des propriétés 

 dignes d'attention. 



» Ecrivons les équations (i), (2 j, (3) de la manière suivante : 



(4) x^à' -h y.^a- ^Y^a + x^ — o, 



(5) x-ib^ -\- z.^b'- -\-y.,b -\- x^ = o; 



C. R., 1902, 1" Semestre. (T. CXXXIV, N" 23.) 1 7tJ 



