SÉANCE DU l6 JUIN 1902. l4l3 



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» Il ne change i)as si l'on remplace la courbe^ pstr une autre, à condi- 

 licn que p et ç- conservent la même valeur. On applique la variété dévelop- 

 pable sur l'espace ordinaire, en annulant l'une des quatre coordonnées E, 

 et en conservant les valeurs de p et de o. Or p est la courbure de la courbe 

 ainsi obtenue et 9 dépend de la courbure et de la torsion, ce qui montre 

 bien que l'on a à chercher une courbe connaissant sa courbure et sa 

 torsion en fonction de l'arc. 



» Si l'on établit entre a et [î une relation quelconque, on aura, dans 

 l'espace à quatre dimensions, une surface qui sera entraînée par la défor- 

 mation de la variété et donnera, dans l'esi^ace ordinaire, une surface ayant 

 même élément linéaire. Les lignes w = const. seront des lignes planes, 

 aussi bien dans l'espace à quatre dimensions que dans l'espace à trois 

 dimensions. 



» Cela posé, considérons, dans l'espace à quatre dimensions, la sur- 

 face (S) qui résulte de l'intersection de deux variétés développables (V) 

 et (V,). Si l'on applique successivement sur l'espace ordinaire à trois 

 dimensions les deux variétés (V) et (V,), la surface (S) sera entraînée 

 dans chacune des deux déformations et donnera, dans l'espace à trois 

 dimensions, deux surfaces applicables (S, ) et (S^). 



» On peut représenter l'intersection de deux variétés développables 

 par les équations 



( 2) Xi = li -t- aE',. -I- p X'i = -ni + X-rl- -H [/.•/)'■ {i--=l, 2, 3, 4 ), 



où E, sont des fonctions de u, r^ des fonctions d'une autre variable indé- 

 pendante V ; l'i , l'- , -n'i , -ri', leurs dérivées respectives premières et secondes, 

 et a, fi, 1, [J. des fonctions de « et de t' définies par les équations (2) elles- 

 mêmes. On aura la surface (S,) en remplaçimt, dans les équations (i), les 

 quatre coordonnées E par les trois coordonnées d'une courbe ordinaire 

 ayant une courbure et une torsion défmiescommeila été indiqué plus haut, 

 ces coordonnées étant des fonctions de u, et en remplaçant aussi a et p par 

 leurs valeurs tirées des équations ( 2). La surface (S.) s'obtiendra de la 

 même manière; mais les coordonnées E seront remplacées par des coor- 

 données ■/) qui seront des fonctions de^-; a et ^ devront être remplacées 

 par les valeurs de >. et de [/. tirées des équations (2). Les courbes u = const. 



C. K., 1902, .»' Semestre. (T. CXXXIV, N» 24.) ' ^J 



