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sont planes sur la surface (S,); sur la surface (S.,), ce sont les courbes 



V = const. 



» Dans l'espace à quatre dimensions, les plans tangents en deux points 

 infiniment voisins d'une surface n'ont, en général, pas d'autres points com- 

 muns que le point de contact. Mais, si l'on considère une variété dévelop- 

 pable comme l'enveloppe d'une variété plane mobile, on trouvera aisément 

 que, sur la surface (S), les plans tangents en deux points infiniment voisins 

 de la courbe u = const. se coupent suivant une droite qui est la tangente 

 à la courbe (^ -~ const. Cette propriété se conserve dans la déformation, 

 parce que la condition qui l'exprime analytiquement ne dépend que de a, 

 et p. Il en résulte que, sur les deux surfaces (S,) et (S2), les lignes u = const. 

 ei V = const. sont conjuguées, comme nous l'avons annoncé. 



» Les dérivées secondes disparaissent des formules (i), si l'on prend des 

 variétés cylindriques ou coniques. Par exemple, en partant de deux 

 variétés cylindriques hélicoïdales définies par les équations 



37, = acosu — xa s,\nu —- bcosv — ib sine, 

 x„ = a sin« + xacosu = b sine -H "Khcosv, 



(a-f- a)y/i 



a' 



on trouve deux surfaces dont l'une a pour équations 



I a cos( u — i' 1 — b ■ 

 X = -COSflM ^ ^ SmrtM, 



a sin( u — (') 



I . a cos (u — (' ) — b 



y = - smau H r^, — cosau, 



"^ a sin(M — i') 



a — b cos( Il — (') 



z = v<Ji — b^-\ r-- — !^ — r — ^v'i — b'; 



' ■sin( (/ — f) ' 



les équations de l'autre s'obtiennent en permutant m et t» et a et b. 



» Si l'on fait a = b, les deux surfaces deviennent identiques, mais les 

 variables u e\.v sont permutées. On a ainsi une surface applicable sur elle- 

 même; mais il ne s'agit pas d'un simple déplacement, les lignes a = const. 

 et (» — const. n'étant pas égales; il faut réellement déformer la surface pour 

 la réappliquer ensuite sur elle-même, de manière que les lignes a = const. 

 s'appliquent sur les lignes v = const. » 



