SÉANCE DU l6 JUIN 1902. l4l5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Vintégration des systèmes différentiels 

 complètement intègrables. Note de M. E. Cartan, présenlée par M. E. Picard. 



« Étant donné un système d'équations aux différentielles totales complè- 

 tement intégrable 



>, = a^ djc,+. . .-h a„dx„= o, 



(0 



o^ = /, dx, -h. . .-h- /„ dx„ = o, 



la considération des covariants bilinéaires des premiers membres et celle 

 des expressions différentielles intégrales permettent d'arriver à des résultats 

 très importants relatifs à l'intégration du système. 



» I. Si M|, M., . . ., iir désignent r intégrales indépendantes du système, 

 j'appelle expression différentielle intégrale une expression 



Kl = a, dx, -+-. . . -f- «„ dxj^ 

 susceptible de se mettre sous la forme 



CT = A, du, +...-+- krdUr, 



les A étant des fonctions des u seulement. On verra immédiatement 

 l'intérêt que présentent ces expressions intégrales d'après les remarques 

 suivantes : 



» 1° Si la transformation infinitésimale 



laisse le système donné invariant, l'expression covariante 



(X,nT) = ^,a, +. .. + ^„ût„ 



est une intégrale du système (i); 



I) 2" Si l'on a un système de /• expressions différentielles intégrales 

 es,, u, TSr linéairement indépendantes et si U est une intégrale parti- 

 culière quelconque de (t), les coefficients U, , • • •. U;. de 



sont encore des intégrales de (i). 



