l4l6 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



i> TI. Il existe une méthode générale (l'intégration lorsqu'on connaît nn 

 système de r expressions différentielles intégrales indépendantes. 



» On a d'abord le théorème suivant : 



» La condition nécessaire et suffisante pour que w,, toj, .... w^ soient 

 r expressions différentielles intégrales (7e (i) est que leurs covarianls bilinéaires 

 ui\, ..., (£>[. puissent se mettre symboliquement sous la forme 



(2) '■-h=^^^y^f.i^•>^''v■ 



» Alors les coefficients C)n, sont des intégrales du système donné, d'où l'on 

 peut déduire d'autres intégrales par le procédé exposé plus haut (I), et 

 ainsi de suite. Lorsque ce procédé ne donne plus aucune intégrale nou- 

 velle et si (r — s) est le nombre des intégrales indépendantes ainsi obte- 

 nues, en les égalant à des constantes arbitraires, il reste s expressions 

 différentielles intégrales indépendantes, soit to,, . . . , w,, et pour le nouveau 

 système les coefficients C)ji^ sont des constantes (fonctions des r — s intégrales 

 déjà trouvées). 



» On est donc ramené au cas où. dans les formules (2) les coefficients Cy^^ 

 sont tous constants. Dans ce cas ces r' constantes déterminent une structure 

 d'un groupe G. 



» Si r est un sous-groupe invariant de G, et si l'on s'est arrangé pour 

 que les transformations infinitésimales de Y soient '^h^,f, ■ ■ . , ^rf' alors 

 le système 



(3) CO, = W„ = . . . = CO/, =r: O 



est complètement intégrable; co,, .... w^ en sont des expressions difïeren- 

 lielles intégrales, et les constantes correspondantes sont les constantes 

 de la structure du groupe G|r isomorphe à G. Si T est un sous-grou[)e 

 invariant maximum, G ]r est simple. On voit que si l'on sait effectuer la 

 décomposition de G en une série normale de sous-groupes, on aura ramené 

 l'intégration du système donné à l'intégration successive de systèmes 

 associés à des groupes simples. Mais il est à remarquer que si G, et G,-^, 

 sont deux sous-groupes consécutifs de la décomposition de G, la connais- 

 .sance des intégrales du système associé au groupe simple G, | Gjv, permettra, 

 en général, par des différentiations, d'avoir de nouvelles intégrales du 

 système donné; d'une manière plus précise, on se ramènera à un système 

 associé non pas à G,^), mais au plus grand sous-groupe de G,^., invariant 

 dans le groupe total G . 



