SÉANCE DU l6 JUIN 1902. jf\l'] 



» Si ce groupe G est simple, l'intégration du système donné (t) se 

 ramène à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires, de type 

 déterminé par la seule structure de G. Su|)j)osons, en effet, que nous con- 

 naissions un groupe particulier G de la structure donnée avec le nombre 

 minimum de variables i,, z-^_. .... z-p, soit 



(fA 7 f-r. EL ^ ^r. EL. 



p 



alors le système 

 (3) 



I 



dz^ + Ç,|(D, -1- . . . H- -ri Wr'= O, 



û^=/,+ C,;,0, + ... -t-Cpf'^r 



est complètement intègrable ; on peut l'intégrer par la méthode de Lie-Mayer, 

 en posant par exemple 



les t désignant des paramètres arbitraires. Si alors 



(6) _ ",=fi(- -p-r,.r, C,) 



sont les équations finies du groupe, l'intégrale générale de (5) est donnée 

 par les formules (6), où c,, c.,. . . ., c^ sont r fonctions particulières de x,, 

 x.^, . . ., ir„. Ces r fonctions sont les intégrales cherchées du système (i). 



» On voit d'après cela que la connaissance de r expressions différen- 

 tielles intégrales linéairement indépendantes permet de ramener l'inté- 

 gration du svstème à celle d'une suite de systèmes de types déterminés. 



» m. Il est un cas célèbre où l'on a immédiatement r expressions diffé- 

 rentielles intégrales : c'est celui où le système admet un groupe transitif à 

 r paramètres i^^f. ■ ■■ ^r/)^ '« déterminant (X,-, wy) étant différent de 

 zéro. Alors si, ce qu'il est toujours possible d'obtenir, on a 



(X„co,) = I, (X,-,a.,) = (»./), 



ces r expressions différentielles sont intégrales et, de plus, les r^ coeffi- 

 cients C)[i, correspondants sont les constantes de la structure du groupe 

 donné. C'est la théorie connue de Lie sur les systèmes complets admettant 

 un groupe donné. 



» Je me propose, dans une prochaine Note, d'examiner le cas où l'on ne 

 connaît pas un système de r expressions dillérentielles intégrales. » 



