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si l'on suppose que l'intégration soit étendue à un volume fini et qu'il existe 

 un nombre a <; n tel que 



a 



1 2,- e^' "•>''■)' /(^"•••' ^«'7 '7«) 



reste inférieur à une quantité finie. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE . — Sur l'intégration des systèmes différentiels 

 complètement intégrables. Note de M. E. Cartan, présentée par M. E. 

 Picard. 



« Je conserve, dans cette Note, les notations dont je me suis servi dans 

 une Note précédente ayant le même titre. 



» I. Si l'on n'a pas r expressions différentielles intégrales d'un système 

 donné complètement intégrable 



i o), 5^ a, dx^ -H ...-(- a„ dx„ = o, 

 ^ \ w^ss /, dx^ + . . . -h 4 dx„ = o, 



il se peut néanmoins que l'on puisse obtenir r expressions de cette nature 

 en effectuant sur w,, ..., «>,. une substitution linéaire de forme connue. 

 D'une manière plus précise : soit G un certain groupe linéaire et homo- 

 gène portant sur w,, . . ., w^; la substitution en question peut s'obtenir en 

 donnant aux paramètres du groupe G certaines valeurs fonctions dea;,, ..., 

 x„. Alors la substitution la plus générale de cette forme permettant d'ob- 

 tenir r expressions différentielles intégrales se déduira d'une substitution 

 particulière suivie d'une substitution du groupe G pour laquelle les para- 

 mètres seraient des fonctions arbitraires des intégrales u,, . . ., u^ de (i). 

 » Par exemple, on peut toujours mettre les covariants bilinéaires de id,, 

 «2, . . -, b>r sous la forme suivante : 



(2) fJ- = 2C),Hi,'^).<'',j.4- 2 a;t,co^.CJ, + . . . +2'>vA,w^cJp, 



où les a, p, ...,>. sont p systèmes de constantes, u,, . . ., cjp étant p ex- 

 pressions de Pfaff. Alors, si l'on considère les p transformations infinité- 

 simales linéaires et homogènes 



