Sul moto brachistocrono d'un sistema qualunque ili punti materiali. ?> 



cide colle ordinane equazioni del moto d* un sistema soggetto ai 

 vincoli (1) il quale si muova in virtù di velocità iniziali. 



Esprimiamo mediante le ( I ) le coordinate x, , //, , z t in funzione 

 di 3u — k = p parametri q, , q t ; ... y tali chele espressioni stesse 

 sostituite nelle (1) invece di x c , //, , z, rendano le (I) identiche. 



Se si pone : 



q'r= ^-, (r= 1, 2, ...j*) 

 si avrà: 



T = ir ( fl "?'" + "ni*' - r - + 2 «« «'.?'* + •••), 



dove le quantità «,., sono funzioni conosciute delle q,.. Il sistema (5) 

 si trasformerà nel seguente : 



(6) 



Sarebbe facile vedere che le equazioni del moto brachistocro- 

 no conservano la forma (6) anche quando , senza che le compo- 

 nenti A, ., Yi , Zi delle forze sieno necessariamente le derivate di 

 una stessa funzione delle 3// variabili x t , //, , z t , Y espressione 

 S ( A', dxi -+- I', di/, + Zi (hi ) sia nondimeno il differenziale esatto di 

 una funzione U delle variabili q,.. (*). 

 Ponendo : 



dT 



^f = Pr , H=T- U, 



ed esprimendo T per mezzo delle p,., q,., il sistema dell' equazioni 

 del moto brachistocrono assume la forma : (**) 



r dq r _ dH 



dt " ' dp r ' 



T dfr _ dH_ 



dt dq r 



(*) Cfr. la mia nota Sul moto brachistocrono, Rena. Cir. Mat. t. V. 1K!)1. 

 (**) Rend. Cir. Mat. nota citata. 



