Teorema di Stokes in coordinate generali. 



E questa relazione potrà essere concorde o no con quella d'un 

 asse e il' un giro dato, stabilita allo stesso modo : cioè mediante 

 una persona che descrive il giro, ritta dalla parte del relativo piano 

 dalla quale è voltato 1' asse. 



Concepite le tangenti alle linee q l , q t e q 3 passanti per uno 

 stesso punto volte dalla parte in cui cresce la relativa coordinata , 

 chiameremo la suddetta relazione positiva quando è quella che 

 sta fra la tangente alla linea q t e il giro che conduce (s' intende 

 sempre per 1' angolo concavo) dalla tangente alla linea q % alla tan- 

 gente alla linea q 3 . 



Osserviamo finalmente che, se la linea ammette in ogni punto 

 la tangente, ciò che torna supporre che le funzioni V^t), f % {t), v 3 (t) 

 ammettano nell'intervallo (f t") la derivata, questa si potrà conce- 

 pire volta nel senso appartenente al cammino. E con ciò la rela- 

 zione in discorso si traduce in una relazione di senso fra la tan- 

 gente nei punti della linea del cammino e la normale nei punti 

 d' una superficie di cui questa linea forma il contorno. 



Supponiamo che ?i(t), P 2 (£), ? 3 {t) ammettano la derivata, fini- 

 ta e continua, salvo, per avventura, alcuni posti: ciò che, alla sua 

 volta, torna ammettere che la linea del cammino ammetta in ogni 

 punto la tangente, variabile generalmente con continuità; e indi- 

 chiamo con X l} X 2 , X 3 tre funzioni di q i , q 2 , q 3 nel campo con- 

 siderato continue, finite, e dotate di derivate prime parimente con- 

 tinue e finite. 



Esisterà 



l J "ix d? ' -+- Y d9 -> A- Y d9 >) dt 



J A x '~di +X% ~di +Xs ~diì clt ' 



dove X,, X t , X 3 indicano le funzioni di t composte colle funzioni 

 così indicate, e colle (1). E ciò chiamasi l'integrale di 



A", dq, + X t dq 2 + X, dq 3 



