Teorema di Stokes in coordinate generali. 



Fissiamo due punti, A e B sulla linea del cammino dato ; che 

 la divideranno in due pezzi A A' B e AB'B, e consideriamo due fa- 

 miglie di linee della superficie dotate di tangente variabile con con- 

 tinuità, e tali che i loro singoli individui non s'intersecano fra loro 

 neh' interno della superficie, ma intersecano tutti gì' individui del- 

 l' altra: le une aventi per estremi comuni A e B e per individui 

 limiti AA'B e AB'B, le altre aventi per individui limiti gli stessi 



punti A e B. 



Allora ogni punto della superficie, escluso A e B, determinerà 

 una coppia di linee appartenenti alle due famiglie, e reciprocamente. 

 E per conseguenza, se v, u sono due parametri che individuano 

 le singole linee della prima e della seconda famiglia, per modo che 

 lungo ogni linea della prima famiglia (linea u) varia la sola u , e 

 lungo ogni linea della seconda (linea v) la sola v, si potranno assu- 

 mere u, v per coordinate curvilinee dei punti della superfìcie. 



Ne viene che ogni funzione di q t , q, , q 3 , nell'ipotesi che {q) ap- 

 partenga alla superficie sarà funzione di u , v , e posto , rappre- 

 sentando con f una funzione qualunque di u, v : 



fdu = d 9 , ^dv = 8?, 

 du Ri- 



sarà nella suddetta ipotesi: 



dX, „ dXi . dXi 



« = *>+ Jfc 3 ** ^7^' 



dq, * dq, * dq a 



(2) 



(*' = 1, 2, 3). 



Secondo ogni cammino conducente da A e B e corrisponden- 

 te ad una linea u esisterà 



f (X, dq, + X 3q t 4- X 3 dq 3 ), 



