Teorema di StoJces in coordinate generali. 1 1 



dove 



-Vi = 2< Qu l ' QjjQkk sin (JA-) cos (»,- a m) 



2V 2 = £. Q,, | (,/„(/„. sin (jk) cos (//,,//: 



ÌV3 = 2, Qai | QtfQ»* sin C/fc) cos (w^w) , 



e il senso della perpendicolare n JK alle tangenti alle linee q j , q h 

 passanti pel punto considerato della superficie è, per rispetto a quello 

 del giro che conduce per l'angolo concavo dalla tangente alla pri- 

 ma linea alla tangente alla seconda , come il senso della normale 

 n nello stesso punto della superficie a quello del cammino. 



Questa è la forma più generale del Teorema di Stokes. 



È tacile ricavare di qui la nota torma del caso che le coordi- 

 nate siano ortogonali. 



In questo caso sin (jk) = 1, Q ui = con h diverso da i, e 

 n Jk avrà la direzione della tangente alla linea coordinata che non è 

 <lj e q K nel relativo punto della superficie, volta, per rispetto al gi- 

 ro che per l'angolo retto conduce dalla tangente a q } alla tangente 

 a q k , come la normale » alla superficie per rispetto al senso del 

 cammino. 



Quel senso della tangente alla linea coordinata suddetta po- 

 trà essere concorde o no con quello in cui cresce la rispettiva 

 coordinata: ma, se è concorde o discorde con una certa coppia di 

 valori di j e k, lo sarà anche con ogni altra coppia di valori che 

 susseguono a quelli colla permutazione circolare. 



Quindi, indicando con » t , n. 2 , n s la tangente alla linea coordi- 

 nata q t , q\ e q 3 , volta nel senso indicato , il Teorema di Stokes 

 prende nel caso in discorso la forma : 



J (Xidq, 4- XZdq s 4- X :ì dq 3 ) 



AtdX 3 dX 2 \ cosinììi) idXi dX 3 \ cos(n?i 2 ) idX 2 dXA cos(wm 3 )i 

 = Jp^~~dq~J VQ^Q^ + { ~dq~ 3 ~ WJ VQ^Q U + W " *to' \ Q^Q n \ '' 



Supponiamo che tal senso della tangente sia quello in cui ere- 



