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Jassen 



C Vj sin x 



Die Integrale von der Form J = f (cosx) -^-dxh 



Jo 



sich, wenn p eine ganze, positive, von Null verschiedene Zabl 

 bedeutet, ferner m und p in einem solchen Zusammenhange stehen, 

 d ass (_i) = l ist, endlich f(cosx) eine derartige Function von 

 cosx vorstellt, dass die Vorzeichen der allenfalls in ihr enthaltenen 

 Wurzelgrossen entweder stets dieselben bleiben oder nur gleich- 

 zeitig mit dem von cos x eine Aenderung erfahren, durch passende 

 Zerlegung in eine unendliche Anzahl neuer, das Grenzintervall ^ 

 besitzenden Integrale , Reduction derselben auf einerlei Grenzen 

 und nacbberige Summation unter dem gemeinschaftlichen Integral- 

 zeichen unter Anwendung der von Euler fur die Tangente ge- 

 gebenen harmonisch-periodischen Reihe auf das nur noch trigono- 

 metrische Functionen enthaltende Integral 



n 



j = (-!,.- r- 



-I sin x J f (cos x) ^n (cscx -f cotx) -f 



2T(p) 

 _|_ ( — ly- 1 f ( — cosx) --^r-(cscx — cotx)| dx reduciren. 



Letzterer Ausdruck liefert fiir den Fall, dass f (cos x) = 

 qy (cos a x) cos r x angenommen wird, das bemerkenswerthe Er- 

 gebnis, dass J denselben Werth behalt, wenn r, m, p der Reihe 

 nach entweder dnrch 2h — 1, 2n-f 1, 1 oder 2h, 2n + I, 1 oder 

 2h — 1, 2n-f-2, 2 oder 2h, 2n + 2, 2 oder endlich durch 2h— 1, 

 2n +3,3 ersetzt werden. 



Was die hoheren Differentialquotienten der Cosecante und 

 Cotangente betrifft, so lassen sich dieselben ohne Induction sehr 

 einfach dadurch entwickeln, dass man von dem Satze Gebrauch 

 macht, ein beliebig holier Differentialquotient von f (x) nach x 

 sei identisch mit dem gleichvielten von f(x + y) nach y, wenn 

 man in letzterem y = o setzt. 



Die fiir J gefundene Formel lasst sich zur Ermittlung der 

 Eigenschaften und Berechnung der Integrale von cler Form 



r x cos r xsin n, x C °° 1 — cos r x f 00 sirT x dx 



' Jp dx > x 2 ^ l+2acos2x + a 2 ' xp 



Jo ''O J o 



mit Vortheil verwenden, indem sie in vielen Fallen allgemeinere 

 Formeln bietet, als die bisher fiir diese Ausdriicke bekannten. 

 Mit dem zuerst genannten Integrale sincl auch jene von der 



C ^ COS r X sin^ n ~* ^RX i ~x • i r* 



Gestalt dx nahe verwandt und lassen sich tin 



Jo x 



ganze positive Exponenten ohne Schwierigkeiten berechnen. 



