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Summenlinie eenannt werden kann unci zulotzt in eine Curve 

 iiberereht, wenn die Seiten clesselben namlich mit den Gliedern 



O 7 



zugleich unendlich klein werden. Der schwierigste Fall der Ent- 

 scheiduno - iiber Convero;enz tritt ein , wenn diese Summenlinie 

 die im Scheitelpunkte des Winkels errichtete Ordinatenachse be- 

 ruhrt; es handelt sich dann darum, zu entscheiden, ob diese ge- 

 dachte Curve eine Tangente oder eine Asymptote an die Ordi- 

 natenachse wird. Wenn nun das Gesagte analytisch ausgedriickt 

 wird, so ergibt sich fur die Untersuchung der Convergenz und 

 Divergenz, in der Sprache der Differentialrechnung ausgedriickt 

 (obwohl auch elementar durchfiihrbar) , folgender Algorithmus : 



Sei das allgemeine Glied der Reihe u„ = — , so muss fur Con- 



* 7 72 



verffenz — — fur n = oo ebenfalls = oo sein und — — fiir n = oo 

 & dn dn 2 



positiv; ware der 2. Differentialquotient gleich = 0, so ist die 



Reihe harmonisch divergent (so wie eine harmonische Reihe) und 



d 2 z 

 fiir kleiner als noch mehr divergent. 



1 d* 



1. Beispiel: u n = — ; also z n = n«; —-0- = a n« — l 



n a dn 



imd — — = a (a — 1) n a ~ 2, also muss a > 1 sein. 

 dn* V ; 



1 dz 



2. Beispiel: = u n , also z n = nln ; -—?- = 1 + In ; 



run dn 



— — = — , also harmonisch divergent. 

 dn* n 



r-\ 



3. Beispiel: u n = n ' + P ' n \ '' — , wodurch z n = 



v n m + Pl .n m - 1 +.., 



yg_4 p,.n"-'-f.. =7ir -<+ ( p _ p ) n «— 1 + . . J^!i = (rn—r)n m - r - l 



r r — 1 dn 



n -f- p n -f- . . 



und — — - = (m—r){rn — r— l)w m_r_2 ; also muss m > r -f- 1 sein, 

 dn 2 



wenn ra = r* -f- 1 , so ist die Reihe schon harmonisch divergent ; 

 diese Reihe ist die von Gauss in der Abhandlung Discpiisitones 



cc a ~ 1 \ 



durchgefiihrte; denn dort ist : H=±i = n ~ t ~ a ' - ^^', demnach 



Un n +A.n +.. 



