con particuliìri' canmleraziouf al casa di n=4. 61 



Prenck'iido la partizione 13 la trasformazione fra gli spazi 

 S4 S4 è stabilita mediante il sistema delle l'ette dello spazio P5 

 che li contiene appoggiate ad una )'etta Ri e ad uno spazio Pg 

 fissi. La trasformazione è del second' ordine ed il sistema oraa- 

 kiidifo in ciascuno dei due spazi consta di varietà qnadriche pas- 

 santi per un punto tisso ed una quadrica a due dimensioni fissa 

 (spezzata in due piani). 



Se prendiamo invece la partizione 22 la trasformazione fra 

 i due spazi S4 ì;^ è stabilita mediante il sistema delle rette di 

 P5 che si appoggiano a due piani fissi P, , Q.,. Indichiamo con 

 p, q; p' , g' rispettivamente le tracce di questi due piani su S4 

 ili , e rispettivamente con z, -' i piani di questi spazi tracce 

 su Eg degli spazi a tre dimensioni determinati dalle coppie di 

 rette (p' q') (p q). 



La trasfbi'mazione che si ottiene è anche qui del second' or- 

 dine. Ad un punto di S4 su - corrisponde nelF altro spazio una 

 retta appoggiata a p' e q' ; il piano - è quindi fondamentale per 

 il sistema omaloidico in S4 . Che questo sistema dovesse contenere 

 un piano fondamentale si sarebbe altrimenti dedotto cercando la 

 superficie di S4 corrispondente ad un piano ^.> di ^4. Le rette 

 di P5 che si appoggiano a tre piani P, , Q2 , ÌI2 formano una 

 varietà a tre dimensioni Vg. Per cercare i punti che essa ha 

 comuni con un piano arbitrario M^ di P5 proiettiamo da Pg e Q2 

 su questo piano un medesimo punto di i:,. Assumendo come 

 corrispondenti in Mo le proiezioni di un medesimo punto Ay di 

 ^o, queste al variare di Ay descrivono due piani omografici so- 

 prapposti in Mo. I tre punti uniti della omografia sono eviden- 

 temente i punti comuni a Vg ed Mg . 



Deduciamo che la Vg è una varietà del terzo oidine. Con- 

 seguentemente al piano ilo di ^^ corrisponde in S4 una superfi- 

 cie del terzo ordine che contiene poi le l'ette p e q perchè la 

 Vg passa per i piani P., e Q.> . Da quanto precede si trae dippiù 

 che le rette p q dianzidette sono anch' esse fondamentali per il 

 sistema di quadriche in S4 : il che appare anche osservando che 



