Sopra ima generalizzazione della forinola di Binet ecc. [Memoria V.] 



tre integrali primi del sistema (1), nell' ipotesi (2), sono (*) le tre 

 soluzioni distinte del sistema seguente di equazioni differenziali 

 ordinarie di 1° ordine : 



dt\ _ di. du dv 



~U ~ ? ('1, Q " 'i (l> Q 



Supponendo che i tre integrali sieno : 



F t (r„ Z, u, v) — a, , F. 2 = a, , F 3 = a 3 



e che, eliminando u, v, si abbia: 



F (vj, Z, a, , «j , «„) = , 



il punto, per tutta la durata del moto, si trova sopra una su- 

 perficie conica che ha il vertice nell'origine delle coordinate, e 

 della quale questa è 1' equazione. Facendo uso delle coordinate 

 polari, posso quindi porre : 



Ìx = r sen cos A. , y = r seu 6 sei) X , z = r cos , 

 6 = ./ (A) , 



essendo quest' ultima l' equazione della superficie conica. Suppo- 

 sti trovati i tre integrali precedenti, sarà f ( "a. ) una funzione 

 conosciuta della longitudine 'a.. Il quadrato dell' elemento lineare 

 della superficie conica è perciò: 



ds 2 — dr* + r 2 \ j/'(X) [ ! + seir 1 <//;', 

 ovvero, posto : 



(4) (i = j\ |/'(X)Ì 2 + seir/(X) di, 



(*) Cfr. Bertrand, Mémoire sur les intégrales communes à plusicurx proiUmes de Mécanique 

 (Journ. de Mathem. pur. et appi. pub. par Liouvillb, t. XVIII), § XXVI, e la mia tesi di 

 abilitazione: Sugl'integrali comuni a più. problemi di Dinamica (Anu. R. Se. Nomi. Sup. <li 

 Pisa, Voi. IV), $ X. 



