Funzioni che hanno per derivata logaritmica un integrale abeliano 21 



ki (z) lungo il taglio a,.. È chiaro che la funzione k„ (z) ha una 

 sola coppia di radici singolari del primo ordine, i primi molti- 

 plicatori uguali ad 1, e quindi le prime caratteristiche uguali a 

 zero, invece poi ha i secondi moltiplicatori diversi da 1 e quindi 

 ha le seconde caratteristiche divei'se da zero. Da ciò segue im- 

 mediatamente che la derivata logaritmica della funzione k„ (z) 

 è un integrale normale di terza specie. Perciò la funzione A'„ {z) 

 la dirò funzione normale di terza specie. 



38. Due funzioni normali di terza specie aventi la medesi- 

 ma coppia di zeri singolari del primo ordine si ottengono l'uno 

 dall'altra moltiplicandone una per l'esponenziale e'"", in cui m è 

 una costante che può pigliare valore qualsiasi. 



Questo teorema si dimostra come l'analogo sulle funzioni di 

 seconda specie. Quindi anche qui, facendo la convenzione che 

 si è fatta riguardo alle funzioni normali di seconda specie, pos- 

 siamo parlare di funzione normale di terza specie. 



39. Data la teoria degli integrali abeliani (*) si ha, ricor- 

 dando che 



d Ig gr (e, s) 



Tr<'-> (z, sj = 



dz 



che la caratteristica del moltiplicatore d' una funzione normale 

 di terza specie lungo il taglio b, è 



^ d Ig (Ir («) 



/ dz 



J(a, t) 



in cui (a, b) {a, b'), è la coppia degli zeri singolari di primo 

 ordine della funzione. 



40. Data una funzione k„ (2) per indicare che la sua deri- 

 vata, logaritmica ha precisamente nel punto {a, h') il residuo -f i 

 e nel punto {a, b) il residuo — 1 sciavero : 



(«', V) 



/.■„ (~i 

 («, ^) 



(*) AppELL et G0UR8AT, Théorie ecc. , pag. 324. 



