Funzioni che hanno per derivata logaritmica nn integrale abeliano 19 



dunque nell' intorno del punto {a, b) abbiamo : 



/ oj (z) dz = Ig {z — «)" " ^' ~ "' + e {z — a) + Acp (z, s) dz. 

 Analogamente nell'intorno del punto {d,b') abbiamo: 



/ OJ iz) dz = Ig (z — a'f ^' ~ "'^ — e {z — a') ■+ f'^, {z, s) dz. 



Da ciò segue : L' integrale d' un integrale abeliano di terza 

 specie ha in ognuno dei due punti logaritmici (a, b), {a, b') dello 

 integrale abeliano due punti logaritmici con i residui rispettivi 

 — e (2 — a), c{z — a). 



Se uno dei due punti considerati diviene un punto di di- 

 ramazione al finito bisogna porre rispettivamente in luogo di 



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{z — a), {z — a) i valori (2 — e,.) 2 , (2 — e/)~2". Se poi il punto 



(«, b), per esempio, diviene un punto onlinario all' co bisogna 



sostituire precedenti formule -^ a (2 — a) ; ed a (2 — a) bisogna 



1 



infine sostituire |— j '^ se il punto {a, b) è un punto di dirama- 

 zione all' co . 



35. Ciò posto una funzione k (2) dirò che è una funzione 

 elementare di terza specie, e l' indicherò con il simbolo k^ (2), ove 

 abbia per derivata logaritmica un integrale elementare di terza 



specie 01 (z). Ne viene allora 



quindi la funzione kj, (2) ha nel punto {a, b,) la stessa singolarità 

 della funzione 



e ^ (^ — e) — 



(2— «)'■<--«' ' 



mentre che nel punto (a', b') ha la stessa singolarità della fun- 

 zione 



