Funzioni che hanno per derivata logaritmica un integrale aheliano 



abeliano di prima specie e gode quindi delle seguenti propinetà: 



I. Per valori infiniti di z essa è dell' ordine -^ oppure 



z 



.dell' ordine 2+\ ( ^ > "^ )• 



IL Se in un punto analitico (Z(j, .§o), a distanza finita, essa 

 diviene infinita, lo diviene d'un ordine frazionario e inferiore 

 all' unità per rapporto a -^^^ di maniera che il punto (z^, s„) è 

 un punto di ramificazione di Kiemann. La medesima proprietà, 

 ha luogo per il prodotto di s" per tale derivata, qualunque sia k. 



12. Supponiamo ora d' avere una funzione g^ (z) tale che 

 le prime caratteristiche, dei suoi moltiplicatori, siano tutte nulle 

 ad eccezione di quella relativa al taglio a,- , cioè Ai , e sia poi 

 questa uguale a 2tì, mentre le quantità B siano tutte diverse 

 da zero. Allora tale funzione è così fatta che abbiamo : 



lungo a-i g, (K) = e^''^ g^ (p) , 



» c;n (Ji (>0 = (Ji (p) ,- ('» = li 2 ,...., p) 



» ^i 9i (>-) = e^'^ gì (p) . 



Ora è chiaro che di funzioni analoghe alla pi'ecedente ne 

 possiamo avere certamente p perchè i può pigliare i valori 1, 2, 



3, , p. Per noi dunque ^; (2) è quella funzione g (z) che ha 



tutte le prime caratteristiche nulle ad eccezione di Ai=2i:i . La 

 derivata logaritmica di una funzione gi{z) è evidentemente un 

 integrale abeliano normale di prima specie. Per questa ragione 

 le funzioni gt (2) le dirò anche funzioni normali. 



13. È impossibile che tra le p funzioni normali di prima 

 specie esista una relazione di questa forma : 



i/^ (~i • g. i^f' Op i^)"' = cost., (1) 



in cui /?! ,/?2 ... sono costanti 

 Infatti essendo : 



Qk {z) = e J , 



