Doti. Paolino Fulco [Memoria XIY.] 



8. Per studiare sistematicamente tali funzioni della forma 

 fidz ]e dividerò in tre specie : a secondo che / è un integrale 



di prima, seconda, terza specie dirò che la funzione corrispon- 

 dente è di 2y'>'i''ìt(iì seconda, terza specie. Le funzioni di prima 

 specie le indicherò costantemente con il simbolo g (z) ; quelle 

 di seconda specie con h (z) e finalmente quelle di terza specie 

 con k (z). 



Comincio oi'a quindi a studiare le funzioni g (;:). 



II. Le funzioni g (z) 



9. Noi sappiamo che un integrale abeliano di prima specie 

 rimane finito su tutta la riemanniana; ne viene quindi che an- 

 che l'integrale di un integrale abeliano di prima specie rimane 

 finito in tutti i punti al finito della riemanniana. Ora essendo 



g (z) = e 



in cui I Idz è finito in tutti i punti al finito della riemanniana 



/?„j,. ne segue che : 



Esistono funzioni y, (;:) che non divengono mai né nulle né 

 infinite nei punti a distanza finita della Bai^ e queste sono le 

 funzioni g (z). 



Tali funzioni però non é escluso che abbiamo delle singo- 

 larità (poli o punti essenziali) all' co ; per noi quindi la g (z) è 

 una funzione senza singolarità al finito. 



10. Abbiamo già osservato ( § 7 ) che le caratteristiche 

 d'una funzione x (2) sono i periodi dell' integrale abeliano che 

 ne è derivata logaritmica ; abbiamo quindi che : 



Le prime caratteristiche d' una funzione g {z) non possono 

 essere né tutte reali né tutte puramente immaginarie. 



11. È chiaro che la derivata della derivata logaritmica 

 d' una funzione g (z) viene ad essere la derivata d' un integrale 



