Funzioni che hanno -per dvrìvata logaritmica un integrale abeliano 13 



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anche e^"^"'*^'' ', e^''"'*^' ', • • • sempre determinate e finite insie- 

 me alle loro derivate per tutti i valori di z , eccetto che per 

 z = d, nel qual caso sono indeterminate. Ora essendo per z = d 

 indeterminati tutti i fattori del prodotto (3) ne viene che per 

 tal valore è anche indeterminato il prodotto e quindi la funzio- 

 ne /?i (:). Dunque la nostra funzione ha nel punto ( r/, f) un 

 punto singolare essenziale. Tale punto lo chiamerò polo singolare 

 d' ordine r — 1 e di più dirò la (2) parte principale di tale polo. 

 Dunque possiamo ora dire : la funzione /?i (z) ha un polo 

 singolare d' ordine r — 1 nel punto ordinario al finito in cui la 

 sua dei-ivata logaritmica ha un polo d'ordine r con residuo nullo. 



23. È chiaro reciprocamente che se una funzione h^ {z) ha 

 in un punto ordinario al finito della riemanniana un polo sin- 

 golare d' ordine r — 1 1' integrale abeliano, sua derivata logarit- 

 mica, ha in quel punto un polo d' ordine r con residuo nullo. 



Se il punto {d, f) non è ordinario ed al finito i due pre- 

 cedenti §§ si devono modificare tenendo conto del § 20. 



24. Supponiamo finalmente che 1' integrale abeliano F {z) 

 abbia nel punto ordinario ed al finito {d, f) un polo d' ordine r 

 con residuo non nullo, cioè si abbia nell' intorno di quel punto: 



^ (.-) = ^, - ^ip + ••■• - èi - ■" <-'« ■' 



allora nell' intorno di quel medesimo punto sarà : 



\ F (z\ ilz — ^~'' ) ^'""^^ o -r •••• ■¥ E Jq iz—d) -4- 's>, (z—d) . 



J ^ ^~' {z—d)'-' ^ (z—d)'-- ^ -t- -i ./ V ' ri V 



Quindi neir intorno del punto {d, f) avremo : 

 ossia : 



fi-i 77%=I + -- + r^+^i(^-'*) 

 \ {z) = [z-d) e ^'-^y '-'^ 



